Equazione differenziale a variabili separabili – Esercizio 1

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili

    \[3y^2 \, y' = x + 1\]

 

Soluzione

L’equazione differenziale data è a variabili separabili poiché scrivibile nella forma

    \[h(y) \cdot y'=g(x),\]

dove

    \[g(x) =x+1 \quad \mbox{e} \quad h(x) = 3y^2.\]

Ricordando che

    \[y'=\dfrac{dy}{dx},\]

l’equazione diventa

    \[3y^2 \, dy = (x+1) \, dx\]

Integrando ambo i membri, abbiamo

    \[\int 3y^2 \, dy = \int (x+1) \, dx \quad \Rightarrow \quad y^3 = x^2+x+c \quad \Rightarrow \quad \boxed{y = \sqrt[3]{x^2+x+c}}\]

per ogni x reale.


Fonte: Matematica.blu 5 – Zanichelli