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Esercizi sul teorema di Bayes

Teorema di Bayes

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Sommario

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Raccolta di esercizi sul teorema di Bayes.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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P(A|B)    Probabilità condizionata dell’evento A rispetto all’evento B.


 
 

Introduzione

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Il teorema di Bayes è un risultato fondamentale del calcolo delle probabilità. Esso riguarda le probabilità condizionate tra due eventi, ossia la probabilità che si verifichi un certo evento, sapendo che se ne è verificato un altro. Più precisamente, il teorema di Bayes consiste nella relazione esistente tra la probabilità condizionata P(A|B) dell’evento A rispetto all’evento B e la probabilità condizionata P(B|A) dell’evento B rispetto all’evento A. Sappiamo come calcolare la probabilità condizionata di un evento rispetto all’altro:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \qquad P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \]

dove una formula si ottiene dall’altra invertendo i ruoli di A e B. Poiché in entrambe le formule compare P(A \cap B), risolvendo rispetto a tale quantità si ottengono le uguaglianze

\[ P(A | B) \cdot P(B) = P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A), \]

ossia il teorema di Bayes:

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ P(A | B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}. } \end{equation*}

Quando l’evento A è parte di una serie di casi mutuamente incompatibili e la cui unione è certa, ossia

\[ A=A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n, \qquad \text{con } P(A_i \cap A_j)= 0 \,\,\,\,\forall i \neq j \quad \text{e} \quad P(A_1 \cup \cdots \cup A_n)=1, \]

allora la probabilità di B può essere scritta, per il teorema sulle probabilità totali, come

(2) \begin{equation*} P(B) = \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k), \end{equation*}

cioè la probabilità di B è pari alla somma delle probabilità che B si verifichi in ciascuno dei casi A_1,\dots, A_n, moltiplicata per la probabilità di ciascun caso. Sostituendo in (1) si ottiene la versione

(3) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ P(A | B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{\sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}. } \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). la prima contiene 5 palline bianche e 3 nere; la seconda, invece, 7 bianche e 5 nere.

Si estrae inizialmente una carta da un mazzo di 52 carte francesi classiche: se la carta è una figura (J, Q o K), si utilizza la prima urna; in caso contrario, la seconda.

Successivamente, si estrae una pallina dall’urna selezionata. Sapendo che è stata estratta una pallina nera, qual è la probabilità che sia stata estratta dalla prima urna?

Svolgimento.

Chiamiamo A_1 l’evento di estrarre dalla prima urna e A_2 l’evento di estrarre dalla seconda urna, mentre chiamiamo N l’evento che sia estratta una pallina nera. La richiesta dell’esercizio è di determinare la probabilità condizionata P(A_1 | N) e, per determinarla, usiamo il teorema di Bayes nella forma (3).

Sappiamo che P(N | A_1), ossia la probabilità che sia estratta una pallina nera dalla prima urna, è pari a \frac{3}{8}. La probabilità che sia scelta la prima urna, ovvero P(A_1), è pari alla probabilità di pescare una figura da un mazzo di carte francesi da 52, ossia

\[ P(A_1)= \frac{12}{52} = \frac{3}{13}. \]

Di conseguenza P(A_2)=1-P(A_1)= \frac{10}{13}. Inoltre, la probabilità P(N|A_2) di estrarre una pallina nera dalla seconda urna è pari a \frac{5}{12}. Inserendo tali dati in (3) si ottiene

\[ P(A_1 | N) = \frac{P(N|A_1) \cdot P(A_1)}{P(N|A_1) \cdot P(A_1) + P(N|A_2) \cdot P(A_2)} = \frac{\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{13}}{\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{3}{13} + \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{10}{13}}. \]

Svolgendo i calcoli si ottiene

\[\boxcolorato{superiori}{ P(A_1 | N) = \frac{27}{127}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Due macchine producono lo stesso tipo di pezzo meccanico. La prima realizza il 45% della produzione totale, e il 97% dei suoi pezzi è privo di difetti.

La seconda copre il restante 55% della produzione, con una percentuale di pezzi senza difetti pari al 92%.

Scelto un pezzo a caso dall’intera produzione, si vede che esso è difettoso; qual è la probabilità che sia stato prodotto dalla seconda macchina?

Svolgimento.

Chiamiamo P, D rispettivamente gli eventi che il pezzo sia perfetto o difettoso, e chiamiamo A_1,A_2 rispettivamente gli eventi che questo sia stato prodotto dalla prima o dalla seconda macchina. L’esercizio richiede di determinare la probabilità condizionata P(A_2|D), che sarà ottenuta grazie alla formula (3), i cui termini sono già forniti dal testo del problema:

\[ P(D|A_2)= \frac{8}{100}= \frac{2}{25}, \qquad P(A_2)= \frac{55}{100}=\frac{11}{20}, \qquad P(D|A_1)= \frac{3}{100}, \qquad P(A_1)= \frac{45}{100}= \frac{9}{20}. \]

Inserendo in (3) si giunge a

\[ P(A_2|D) = \frac{P(D|A_2) P(A_2)}{P(D|A_2) P(A_2) + P(D|A_1) P(A_1)} = \frac{\dfrac{2}{25} \cdot \dfrac{11}{20}}{\dfrac{2}{25} \cdot \dfrac{11}{20} + \dfrac{3}{100} \cdot \dfrac{9}{20}}. \]

Svolgendo i calcoli giungiamo al risultato

\[\boxcolorato{superiori}{ P(A_2|D) = \frac{88}{115}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). In un gruppo di pazienti affetti da una patologia tiroidea, il 65% ha seguito una nuova terapia, ottenendo un miglioramento nel 25% dei casi.

Il restante 35% ha proseguito la cura tradizionale, con un miglioramento riscontrato nel 15% dei casi.

Qual è la probabilità che un paziente che ha mostrato un miglioramento abbia seguito la nuova terapia?

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