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Esercizio 1 – Evento unione di eventi compatibili

Teorema della somma

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Calcola la probabilità che lanciando un dado si ottenga un numero pari o minore di 5.

 

Soluzione. 
L’evento che ci interessa è l’evento unione E = “estrazione di un numero pari o minore di 5” composto dagli eventi E_1 = “estrazione di un numero pari” e E_2 = “estrazione di un numero minore di 5“. Poiché gli eventi E_1 ed E_2 sono compatibili (infatti ad esempio il numero 2 è sia minore di 5 che pari) bisogna fare la somma delle probabilità p(E_1) e p(E_2) secondo la definizione di probabilità classica (cioè facendo il rapporto tra casi favorevoli su casi possibili) e poi la probabilità dell’evento intersezione, cioè p(E_1 \cap E_2):

    \[p(E) = p(E_1) + p(E_2) - p(E_1 \cap E_2)\]

Le probabilità dei singoli eventi sono

    \[p(E_1) = \dfrac{3}{6}\]

dove 3 è il numero di cifre pari su un dado (2,4,6) e 6 è il numero totale di cifre (da 1 a 6) mentre

    \[p(E_2) = \dfrac{4}{6}\]

dove 4 è il numero di cifre minore di 5 in un dado (1,2,3,4), infine l’evento intersezione indica quell’evento

    \[E_1 \cap E_2 = \text{"estrazione di un numero pari \textbf{e} minore di $5$"}\]

ovvero, in un dado, l’estrazione delle cifre 2 e 4 quindi

    \[p(E_1 \cap E_2) = \dfrac{2}{6}\]

Unendo i risultati abbiamo

    \[p(E) = p(E_1) + p(E_2) - p(E_1 \cap E_2) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\]

quindi

    \[p(E) = \dfrac{5}{6}\]

 

 


Fonte: Qui Si Risolve