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Esercizi sulla probabilità dell’intersezione di eventi

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulla probabilità dell’intersezione di eventi.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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A^c    Complementare dell’evento A.

 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Due dispositivi nuovi presentano rispettivamente una probabilità del 6% e del 3% di guastarsi durante il periodo di garanzia. Supponendo che gli eventuali guasti avvengano in modo indipendente, determinare la probabilità che:

\[\quad\]

  1. si guasti soltanto uno dei due dispositivi;

    2.  

  2. si guastino entrambi i dispositivi;

    3.  

  3. nessuno dei due presenti guasti.

Svolgimento punto 1.

Chiamiamo A l’evento che il primo dispositivo si guasti e B l’evento che si guasti il secondo.

L’eventualità che si guasti solo uno dei due dispositivi è data dall’unione dell’evento A \cap B^c in cui il primo dispositivo si guasta e il secondo no, e dell’evento A^c \cap B in cui il primo dispositivo non si guasta e il secondo si guasta.

Poiché il guasto di uno dei due dispositivi è indipendente dall’altro, la probabilità di A \cap B^c è pari al prodotto della probabilità P(A) che il primo si guasti per la probabilità P(B^c)=1-P(B) che il secondo non si guasti:

\[ P(A \cap B^c) = P(A) \cdot (1- P(B)) = \frac{6}{100} \cdot \frac{97}{100}. \]

Invece, la probabilità che il primo dispositivo non si guasti e il secondo si è pari al prodotto

\[ P(A^c \cap B) = (1-P(A)) \cdot P(B) = \frac{94}{100} \cdot \frac{3}{100}. \]

Poiché gli eventi A \cap B^c e A^c \cap B sono incompatibili, la probabilità della loro unione è pari alla somma delle probabilità:

\[ P\big( (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \big) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) = \frac{6}{100} \cdot \frac{97}{100} + \frac{94}{100} \cdot \frac{3}{100}. \]

Effettuando la somma si ottiene

\[\boxcolorato{superiori}{ P\big( (A \cap B^c) \cup (A^c \cap B) \big) = \frac{3 \cdot 144}{5000} = \text{8,64}\%. } \]


Svolgimento punto 2.

L’evento che entrambi i dispositivi si guastino è l’intersezione A \cap B. Poiché gli eventi sono tra loro indipendenti, si ha

\[\boxcolorato{superiori}{ P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B) = \frac{18}{10000} = \text{0,18}\%. } \]


Svolgimento punto 3.

L’evento che ambo i dispositivi non presentino guasti è l’intersezione A^c \cap B^c. L’indipendenza degli eventi fornisce

\[ P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \cdot P(B^c) = \big( 1- P(A) \big) \cdot \big(1- P(B)\big) = \frac{94}{100} \cdot \frac{97}{100}. \]

Svolgendo i calcoli si ottiene

\[\boxcolorato{superiori}{ P(A^c \cap B^c) = \text{91,18}\%. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Due persone sparano contemporaneamente a un bersaglio. La probabilità che la prima persona lo colpisca è del 25%, mentre per la seconda è del 55%. Sapendo che l’eventuale successo di ciascuna delle due persone è indipendente dal successo dell’altra, determinare la probabilità che entrambe le persone colpiscano il bersaglio.

Svolgimento.

Chiamiamo A l’evento che la prima persona colpisca il bersaglio, con probabilità P(A)= \frac{25}{100}= \frac{1}{4} e B l’evento che la seconda persona colpisca il bersaglio, con probabilità P(B)= \frac{55}{100}= \frac{11}{20}. L’esercizio richiede di determinare la probabilità dell’intersezione A \cap B. L’indipendenza dei due eventi produce

\[\boxcolorato{superiori}{ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{11}{20} = \frac{11}{80} = \text{13,75}\%. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Un gruppo di 7 studenti, composto da 4 maschi e 3 femmine, deve essere interrogato in ordine casuale. Qual è la probabilità che i maschi e le femmine si alternino nell’ordine delle interrogazioni?

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