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Esercizi sulla probabilità condizionata

Probabilità condizionata

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulla probabilità condizionata.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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P(A|B)    Probabilità condizionata dell’evento A rispetto all’evento B;
|A|    Cardinalità dell’evento A.


 
 

Introduzione

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La nozione di probabilità condizionata è estremamente importante. Essa esprime la probabilità che si verifichi un certo evento A sapendo che si è verificato un altro evento B e si indica in genere con P(A|B).

Poiché si sta assumendo che l’evento B si sia verificato, il valore della probabilità condizionata P(A|B) è pari alla probabilità che si verifichino sia A che B, ossia P(A \cap B), normalizzato rispetto alla probabilità del solo evento B, ossia diviso per P(B). In formule

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}. } \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare la probabilità che, lanciando un dado a sei facce, esca un numero maggiore di 4, sapendo che è uscito un numero pari.

Svolgimento.

Definendo gli eventi

\[ A=\{\text{numero } >4\}=\{5,6\},\qquad B=\{\text{numero pari}\}=\{2,4,6\}, \]

si richiede di calcolare P(A|B). Poiché A \cap B=\{6\}, da cui P(A \cap B)=\frac{1}{6}, e P(B)=\frac{1}{2}, da (1) si ottiene

\[\boxcolorato{superiori}{ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{3}. } \]

Ciò è coerente con l’intuizione: sapendo che è uscito un numero pari, solo uno di essi è maggiore di 4.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Si estrae una carta da un mazzo di 52 carte francesi. Determinare la probabilità che la carta sia una donna, sapendo che è uscita una figura.

Svolgimento.

Tra le 12 figure presenti nel mazzo, vi sono esattamente quattro donne. La probabilità che la figura estratta sia una donna è quindi pari a

\[\boxcolorato{superiori}{ \frac{4}{12} = \frac{1}{3}. } \]

Alternativamente, si può ragionare con la formula della probabilità condizionata. Definiamo A l’evento che esca una donna e B l’evento che sia estratta una figura. Poiché A \subset B, vale A \cap B= A e quindi (1) fornisce

\[ P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\dfrac{4}{52}}{\dfrac{12}{52}} = \frac{1}{3}. \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Un’urna contiene 24 palline numerate da 1 a 24. Calcolare la probabilità che, estraendo una pallina, essa rechi un multiplo di 5, sapendo che il numero estratto è dispari.

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