Prezzi Registrazione Login
Qui si risolve LOGO
a

Menu

M

Chiudi

Esercizi sulla probabilità e calcolo combinatorio

Probabilità con il calcolo combinatorio

Home » Esercizi sulla probabilità e calcolo combinatorio

 
 

Sommario

Leggi...

Raccolta di esercizi sul calcolo delle probabilità mediante strumenti del calcolo combinatorio.

 
 

Autori e revisori

Leggi...

Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

Leggi...

n!    Fattoriale del numero naturale n, ossia il prodotto n!=n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdots 1; si definisce 0!=1;
\binom{n}{k} Coefficiente binomiale di n su k, pari a \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.    Coefficiente binomiale di n su k, pari a \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). In una scatola di cioccolatini ne sono rimasti 6 al latte, 8 fondenti e 5 al liquore. Si prendono successivamente due cioccolatini a caso. Calcolare la probabilità che:

\[\quad\]

  1. siano entrambi fondenti;

    2.  

  2. non siano al liquore;

    3.  

  3. siano entrambi al latte.

Svolgimento punto 1.

Le probabilità richieste verranno calcolate come rapporto tra il numero di casi favorevoli e il numero di casi totali. La scatola contiene in totale 19 cioccolatini, quindi il numero di coppie di cioccolatini che è possibile scegliere è pari al numero di combinazioni semplici di 2 elementi scelti tra 19, che è dato dal coefficiente binomiale

\[ \binom{19}{2} = \frac{19 \cdot 18}{2}. \]

Il numero di coppie di cioccolatini fondenti è pari al numero di combinazioni semplici di 2 elementi scelti tra 8, ossia il coefficiente binomiale \binom{8}{2}, dunque la probabilità richiesta è pari a

\[ \frac{\binom{8}{2}}{\binom{19}{2}} = \frac{8 \cdot 7}{19 \cdot 18} =\boxcolorato{superiori}{ \frac{28}{171}. } \]


Svolgimento punto 2.

I cioccolatini non al liquore sono 6+8=14. Dunque il numero di coppie favorevoli è pari a quello delle combinazioni semplici di 2 elementi su 14, cioè \binom{14}{2}. Quindi la probabilità ricercata vale

\[ \frac{\binom{14}{2}}{\binom{19}{2}} = \frac{14 \cdot 13}{19 \cdot 18} =\boxcolorato{superiori}{ \frac{91}{171}. } \]

\[ P=\frac{14}{19}\cdot\frac{13}{18} =\frac{91}{171}. \]


Svolgimento punto 3.

Infine, il numero di coppie di cioccolatini entrambi al latte è il coefficiente binomiale \binom{6}{2}. Quindi la probabilità di estrarli è

\[ \frac{\binom{6}{2}}{\binom{19}{2}} = \frac{6 \cdot 5}{19 \cdot 18} =\boxcolorato{superiori}{ \frac{5}{57}. } \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Un’urna contiene sei palline numerate da 1 a 6. Si estraggono successivamente due palline, \emph{rimettendo} la prima pallina estratta nell’urna. Calcolare la probabilità che:

\[\quad\]

  1. escano due 6;

    2.  

  2. escano due numeri pari;

    3.  

  3. esca prima un numero pari e poi uno dispari;

    4.  

  4. escano un numero pari e uno dispari.

Svolgimento punto 1.

Dato che le due estrazioni sono indipendenti, le coppie di numeri sono tutte equiprobabili, quindi le probabilità richieste sono pari al rapporto tra casi favorevoli e casi totali. Osserviamo che è possibile ottenere 6 \cdot 6=36 coppie di numeri estratti.

Vi è un solo caso possibile in cui si ottengano due 6, quindi la probabilità di tale evento è

\[\boxcolorato{superiori}{ \frac{1}{36}. } \]


Svolgimento punto 2.

In ciascuna estrazione vi sono 3 numeri pari a disposizione, dunque vi sono 3 \cdot 3=9 coppie costituite da numeri entrambi pari. Di conseguenza la probabilità di ottenerne una vale

\[\boxcolorato{superiori}{ \frac{9}{36} = \frac{1}{4}. } \]


Svolgimento punto 3.

Alla prima estrazione si hanno 3 numeri pari a disposizione, mentre nella seconda estrazione vi sono 3 numeri dispari a disposizione. Le coppie il cui primo numero è pari e il secondo è dispari sono quindi pari a 3 \cdot 3=9 e pertanto la probabilità che le palline estratte ricadano in questo caso vale

\[\boxcolorato{superiori}{ \frac{9}{36} = \frac{1}{4}. } \]


Svolgimento punto 4.

Il numero di coppie in cui il primo numero è pari e il secondo è dispari vale 9, come mostrato al punto precedente. Analogamente, richiedendo che il primo numero sia dispari e il secondo sia pari, si hanno 9 coppie distinte, ossia 9+9=18 casi favorevoli. Di conseguenza, la probabilità di avere un numero pari e uno dispari vale

\[\boxcolorato{superiori}{ \frac{18}{36} = \frac{1}{2}. } \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Si gettano contemporaneamente due dadi. Calcolare la probabilità che le due facce:

\[\quad\]

  1. mostrino lo stesso numero;

    2.  

  2. siano entrambe pari.

Questa parte è riservata agli abbonati

per continuare a leggere, attiva un abbonamento.

• Mensile: 7,99€ / mese • Trimestrale: 19,99€ / 3 mesi • Annuale: 79,99€ / anno

Attiva abbonamento

Già abbonato? Accedi