Problema 3 – Ordinamento tra uomini e donne che sostengono un esame

Distribuzioni di probabilità, Variabili discrete

Home » Problema 3 – Ordinamento tra uomini e donne che sostengono un esame
Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

 

Esercizio 3.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Cinque uomini e cinque donne sostengono un esame e vengono messi in ordine secondo i risultati ottenuti.
Supponiamo che non ci siano due esiti uguali e che tutti i 10! possibili ordinamenti siano equiprobabili.
Denotiamo con X la migliore posizione ottenuta da una donna, ad esempio per X=1 se il primo classificato è una donna.
Determinare P[X=i] con i=1,2,\cdots 9,10

 

Svolgimento.

Poichè per X=6 è il grado più basso ottenibile dalla donna con il punteggio più alto, chiaramente avremo P[X=7]=0, P[X=8]=0, P[X=9]=0 e P[X=10]=0.
Vediamo come disporre le donne e gli uomini per X=6, abbiamo 10! modi totali per disporre le 10 persone, i casi favorevoli sono 5! per disporre le donne e 5! per disporre gli uomini. Da cui

    \[P[X=6]=\dfrac{5!5!}{10!}=\dfrac{1}{252}\]

D’ora in poi i casi totali rimarranno sempre 10!, considereremo d’ora in avanti solo i casi favorevoli tenendo sempre in considerazione il riordinamento delle donne in 5! modi e il riordinamento degli uomini in 5! modi.

Per X=5, dobbiamo considerare il miglior quinto posto che la donna raggiunge, ci sono dunque 5 posti possibili, le altre 4 donne devono essere assegnate nei restanti posti e questo può essere fatto in \displaystyle\binom{5}{4} modi possibili, Quindi:

    \[P[X=5]=\dfrac{\binom{5}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{5}{252}\]

Per X=4, consideriamo la donna che ottiene il quarto posto all’esame. In questo caso ci sono 6 possibili posizioni Le altre quattro donne rimanenti devono essere assegnate nei rimanenti posti, quindi abbiamo \displaystyle\binom{6}{4} modi. Da cui:

    \[P[X=4]=\dfrac{\binom{6}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{5}{84}\]

Per X=3, consideriamo la donna che ottiene il terzo posto all’esame. In questo caso ci sono 7 possibili posizioni Le altre quattro donne rimanenti devono essere assegnate nei rimanenti posti, quindi abbiamo \displaystyle\binom{7}{4} modi. Da cui:

    \[P[X=3]=\dfrac{\binom{7}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{5}{36}\]

Per X=2, consideriamo la donna che ottiene il secondo posto all’esame. In questo caso ci sono 8 possibili posizioni Le altre quattro donne rimanenti devono essere assegnate nei rimanenti posti, quindi abbiamo \displaystyle\binom{8}{4} modi. Da cui:

    \[P[X=2]=\dfrac{\binom{8}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{5}{18}\]

Infine, per X=1, consideriamo la donna che ottiene il primo posto all’esame. In questo caso ci sono 9 possibili posizioni Le altre quattro donne rimanenti devono essere assegnate nei rimanenti posti, quindi abbiamo \displaystyle\binom{9}{4} modi. Da cui:

    \[P[X=1]=\dfrac{\binom{9}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{1}{2}\]

Fonte : Il testo dell’esercizio è tratto dal libro S.Ross
Soluzione fornita da Qui Si Risolve