Problema 3 – Ordinamento tra uomini e donne che sostengono un esame

Distribuzioni di probabilità, Variabili discrete

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Esercizio 3. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$

Cinque uomini e cinque donne sostengono un esame e vengono messi in ordine secondo i risultati ottenuti.
Supponiamo che non ci siano due esiti uguali e che tutti i $10!$

possibili ordinamenti siano equiprobabili.
Denotiamo con $X$

la migliore posizione ottenuta da una donna, ad esempio per $X=1$

se il primo classificato è una donna.
Determinare $P[X=i]$

con $i=1,2,\cdots 9,10$

Svolgimento.

Poichè per $X=6$ è il grado più basso ottenibile dalla donna con il punteggio più alto, chiaramente avremo $P[X=7]=0$ , $P[X=8]=0$ , $P[X=9]=0$ e $P[X=10]=0$ .
Vediamo come disporre le donne e gli uomini per $X=6$ , abbiamo $10!$ modi totali per disporre le $10$ persone, i casi favorevoli sono $5!$ per disporre le donne e $5!$ per disporre gli uomini. Da cui

$P[X=6]=\dfrac{5!5!}{10!}=\dfrac{1}{252}$

D’ora in poi i casi totali rimarranno sempre $10!$ , considereremo d’ora in avanti solo i casi favorevoli tenendo sempre in considerazione il riordinamento delle donne in $5!$ modi e il riordinamento degli uomini in $5!$ modi.

Per $X=5$ , dobbiamo considerare il miglior quinto posto che la donna raggiunge, ci sono dunque 5 posti possibili, le altre 4 donne devono essere assegnate nei restanti posti e questo può essere fatto in $\displaystyle\binom{5}{4}$ modi possibili, Quindi:

$P[X=5]=\dfrac{\binom{5}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{5}{252}$

Per $X=4$ , consideriamo la donna che ottiene il quarto posto all’esame. In questo caso ci sono 6 possibili posizioni. Le altre quattro donne rimanenti devono essere assegnate nei rimanenti posti, quindi abbiamo $\displaystyle\binom{6}{4}$ modi. Da cui:

$P[X=4]=\dfrac{\binom{6}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{5}{84}$

Per $X=3$ , consideriamo la donna che ottiene il terzo posto all’esame. In questo caso ci sono 7 possibili posizioni. Le altre quattro donne rimanenti devono essere assegnate nei rimanenti posti, quindi abbiamo $\displaystyle\binom{7}{4}$ modi. Da cui:

$P[X=3]=\dfrac{\binom{7}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{5}{36}$

Per $X=2$ , consideriamo la donna che ottiene il secondo posto all’esame. In questo caso ci sono 8 possibili posizioni. Le altre quattro donne rimanenti devono essere assegnate nei rimanenti posti, quindi abbiamo $\displaystyle\binom{8}{4}$ modi. Da cui:

$P[X=2]=\dfrac{\binom{8}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{5}{18}$

Infine, per $X=1$ , consideriamo la donna che ottiene il primo posto all’esame. In questo caso ci sono 9 possibili posizioni Le altre quattro donne rimanenti devono essere assegnate nei rimanenti posti, quindi abbiamo $\displaystyle\binom{9}{4}$ modi. Da cui:

$P[X=1]=\dfrac{\binom{9}{4}\cdot 5!5!}{10!}=\dfrac{1}{2}$

Fonte : Il testo dell’esercizio è tratto dal libro S.Ross
Soluzione fornita da Qui Si Risolve

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