Esercizio 2 – Variabili aleatorie – Lancio di due dadi

Distribuzioni di probabilità, Scuola superiore, Variabili discrete

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Esercizio 2. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$
Vengono lanciati due dati equilibrati a sei facce e sia $X$ la variabile aleatoria che rappresenta il prodotto dei due dati. Determinare $P[X=i]$ per $i=1,2,\cdots$

Svolgimento.
I casi totali per il lancio di due dadi è $36$ , ora analizziamo i casi favorevoli.

I possibili valori di $X$ sono $1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36$ .
In nessun caso si ha $X$ che assume valore $7,11,13,14,17,19,21,22,23,26,27,28,29,31,32,33,34,35$ . Per tali $X$ la probabilità è nulla.

Sia $X=1$ , l’unico caso è di avere la coppia $(1,1)$ . Quindi $P[X=1]=\dfrac{1}{36}$ .

Per $X=2$ abbiamo che le facce dei due dadi possono presentare le coppie $(2,1)$ o $(1,2)$ . Quindi $P[X=2]=\dfrac{2}{36}$ .

Per $X=3$ si ha $P[X=3]=\dfrac{2}{36}$ , infatti possiamo avere le coppie $(3,1)$ o $(1,3)$ .

Per $X=4$ possiamo avere le coppie $(4,1)$ o $(1,4)$ , oppure $(2,2)$ . Quindi $P[X=4]=\dfrac{3}{36}$ .

Per $X=5$ si ha $P[X=5]=\dfrac{2}{36}$ , infatti abbiamo due casi: $(5,1)$ o $(1,5)$ .

Per $X=6$ si hanno le seguenti possibilità $(1,6)$ , $(6,1)$ , $(2,3)$ , $(3,2)$ , a cui $P[X=6]=\dfrac{4}{36}$ .

Per $X=8$ si ha $P[X=8]=\dfrac{2}{36}$ , infatti abbiamo due casi: $(4,2)$ o $(2,4)$ .

Per $X=9$ abbiamo la possibilità $(3,3)$ , quindi $P[X=9]=\dfrac{1}{36}$ .

Per $X=10$ si ha $P[X=10]=\dfrac{2}{36}$ , infatti abbiamo due casi: $(5,2)$ o $(2,5)$ .

Per $X=12$ si ha $P[X=12]=\dfrac{4}{36}$ , infatti abbiamo i casi: $(4,3)$ o $(3,4)$ , oppure $(2,6)$ o $(6,2)$ .

Per $X=15$ si ha $P[X=15]=\dfrac{2}{36}$ , infatti abbiamo due casi: $(5,3)$ o $(3,5)$ .

Per $X=16$ abbiamo la possibilità $(3,3)$ , quindi $P[X=16]=\dfrac{1}{36}$ .

Per $X=18$ si ha $P[X=18]=\dfrac{2}{36}$ , infatti abbiamo due casi: $(6,3)$ o $(3,6)$ .

Per $X=20$ si ha $P[X=20]=\dfrac{2}{36}$ , infatti abbiamo due casi: $(5,4)$ o $(4,5)$ .

Per $X=24$ si ha $P[X=15]=\dfrac{2}{36}$ , infatti abbiamo due casi: $(6,4)$ o $(4,6)$ .

Per $X=25$ abbiamo la possibilità $(5,5)$ , quindi $P[X=25]=\dfrac{1}{36}$ .

Per $X=30$ si ha $P[X=30]=\dfrac{2}{36}$ , infatti abbiamo due casi: $(6,5)$ o $(5,6)$ .

Per $X=36$ abbiamo la possibilità $(6,6)$ , quindi $P[X=36]=\dfrac{1}{36}$ .

Fonte : Il testo dell’esercizio è tratto dal libro S.Ross
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Alessio Fulvi

2024-07-17

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