Esercizio 1 – Variabili aleatorie – Urne e palline

Distribuzioni di probabilità, Scuola superiore, Variabili discrete

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Esercizio 1. $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$
Due palline vengono scelte casualmente da un’urna che contiene 8 palline bianche, 4 palline nere e 2 palline gialle.
Ipotizzando di vincere 2 euro per ogni pallina nera estratta e di perdere un euro per ogni pallina bianca estratta, sia $X$ la vincita. Determinare i possibili valori di $X$ calcolandone la probabilità.

Svolgimento. Se vengono scelte due palline, si possono presentare il caso che si estraggano:

– Due palline bianche: perciò si perdono due euro, quindi possiamo assumere che $X=-2$
– Due palline nere: perciò si vincono quattro euro, possiamo assumere in questo caso $X=4$
– Due palline gialle : non si vince niente, quindi assumiamo $X=0$ .
– Una pallina nera e una bianca: si vince un euro (perché si vince due euro per aver estratto una pallina nera e si perde un euro per aver estratto una pallina bianca). Si può assumere $X=1$
– Una pallina nera e una gialla: si vince due euro (perché si vince due euro per aver estratto una pallina nera e non si perde niente se si estrae una pallina gialla). Si può assumere $X=2$
– Una pallina bianca e una gialla: si perde un euro (perché si perde un euro per aver estratto una pallina bianca e non si perde niente se si estrae una pallina gialla). Si può assumere $X=-1$

Calcoliamo ora le probabilità richieste.

Ricaviamo la probabilità di estrarre due palline bianche, cioè calcoliamo $P\{X=-2\}$ .
La probabilità può essere determinata calcolando i casi favorevoli e i casi totali. I casi favorevoli sono $\displaystyle\binom{8}{2}$ , cioè sono le possibilità di estrarre esattamente due palline bianche dalle otto che sono presenti nell’urna, i casi totali sono i modi di estrarre due palline dal numero totale di palline contenute nell’urna. Quindi la probabilità di perdere due euro per aver estratto due palline bianche sono:

$P\{X=-2\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{8!}{2!6!}}{\displaystyle\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{28}{91}$

Allo stesso modo calcoliamo la probabilità di estrarre due palline nere. Il caso totale rimane invariato e vale sempre $\displaystyle\binom{14}{2}$ , dobbiamo solo calcolare i casi favorevoli. Per estrarre due palline nere dalle quattro presenti nell’urna sono in tutto $\displaystyle\binom{4}{2}$ . Di conseguenza:

$P\{X=4\}=\dfrac{\displaystyle\binom{4}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{6}{91}$

Per estrarre due palline gialle, abbiamo:

$P\{X=0\}=\dfrac{\displaystyle\binom{2}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{1}{91}$

Per calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera e una pallina bianca, il caso favorevole è dato dal numero di modi di estrarre una pallina nera dalle quattro totali, ossia $\displaystyle\binom{4}{1}$ , e di estrarre una pallina bianca, ossia $\displaystyle\binom{8}{1}$ . In tutto ci sono $\displaystyle\binom{4}{1}\cdot\displaystyle\binom{8}{1}$ modi. Da cui

$P\{X=1\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{1} \cdot \displaystyle\binom{4}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{8!}{1!7!} \cdot \dfrac{4!}{1!3!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{32}{91}$

Analogamente si procede negli ultimi due casi: la probabilità di estrarre una pallina bianca e una gialla vale:

$P\{X=-1\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{1}\cdot \displaystyle\binom{2}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{8!}{1!7!} \cdot \dfrac{2!}{1!1!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{16}{91}$

Infine per calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera e una gialla vale

$P\{X=2\}=\dfrac{\displaystyle\binom{4}{1}\cdot \displaystyle\binom{2}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!} \cdot \dfrac{2!}{1!1!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{8}{91}$

Riassumendo le probabilità sono:

$\boxcolorato{superiori}{\begin{matrix} P\{X=-2\}=\dfrac{28}{91} & & P\{X=-1\}=\dfrac{16}{91} & &P\{X=0\}=\dfrac{1}{91}\\ & & & & & \\ P\{X=1\}=\dfrac{32}{91} & & P\{X=2\}=\dfrac{8}{91} & & P\{X=4\}=\dfrac{6}{91}\\ \end{matrix}}$

Fonte : Il testo dell’esercizio è tratto dal libro S.Ross
Soluzione fornita da Qui Si Risolve