Esercizio 1 – Variabili aleatorie – Urne e palline

Distribuzioni di probabilità, Scuola superiore, Variabili discrete

Home » Esercizio 1 – Variabili aleatorie – Urne e palline

More results...

Generic selectors
Exact matches only
Search in title
Search in content
Post Type Selectors
post
page

 

Esercizio 1.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Due palline vengono scelte casualmente da un’urna che contiene 8 palline bianche, 4 palline nere e 2 palline gialle.
Ipotizzando di vincere 2 euro per ogni pallina nera estratta e di perdere un euro per ogni pallina bianca estratta, sia X la vincita. Determinare i possibili valori di X calcolandone la probabilità.

 

Svolgimento. Se vengono scelte due palline, si possono presentare il caso che si estraggano:

– Due palline bianche: perciò si perdono due euro, quindi possiamo assumere che X=-2
– Due palline nere: perciò si vincono quattro euro, possiamo assumere in questo caso X=4
– Due palline gialle : non si vince niente, quindi assumiamo X=0.
– Una pallina nera e una bianca: si vince un euro (perché si vince due euro per aver estratto una pallina nera e si perde un euro per aver estratto una pallina bianca). Si può assumere X=1
– Una pallina nera e una gialla: si vince due euro (perché si vince due euro per aver estratto una pallina nera e non si perde niente se si estrae una pallina gialla). Si può assumere X=2
– Una pallina bianca e una gialla: si perde un euro (perché si perde un euro per aver estratto una pallina bianca e non si perde niente se si estrae una pallina gialla). Si può assumere X=-1

Calcoliamo ora le probabilità richieste.

Ricaviamo la probabilità di estrarre due palline bianche, cioè calcoliamo P\{X=-2\}.
La probabilità può essere determinata calcolando i casi favorevoli e i casi totali. I casi favorevoli sono \displaystyle\binom{8}{2}, cioè sono le possibilità di estrarre esattamente due palline bianche dalle otto che sono presenti nell’urna, i casi totali sono i modi di estrarre due palline dal numero totale di palline contenute nell’urna. Quindi la probabilità di perdere due euro per aver estratto due palline bianche sono:

    \[P\{X=-2\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{8!}{2!6!}}{\displaystyle\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{28}{91}\]

Allo stesso modo calcoliamo la probabilità di estrarre due palline nere. Il caso totale rimane invariato e vale sempre \displaystyle\binom{14}{2}, dobbiamo solo calcolare i casi favorevoli. Per estrarre due palline nere dalle quattro presenti nell’urna sono in tutto \displaystyle\binom{4}{2}. Di conseguenza:

    \[P\{X=4\}=\dfrac{\displaystyle\binom{4}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{6}{91}\]

Per estrarre due palline gialle, abbiamo:

    \[P\{X=0\}=\dfrac{\displaystyle\binom{2}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{1}{91}\]

Per calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera e una pallina bianca, il caso favorevole è dato dal numero di modi di estrarre una pallina nera dalle quattro totali, ossia \displaystyle\binom{4}{1}, e di estrarre una pallina bianca, ossia \displaystyle\binom{8}{1}. In tutto ci sono \displaystyle\binom{4}{1}\cdot\displaystyle\binom{8}{1} modi. Da cui

    \[P\{X=1\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{1} \cdot \displaystyle\binom{4}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{8!}{1!7!} \cdot \dfrac{4!}{1!3!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{32}{91}\]

Analogamente si procede negli ultimi due casi: la probabilità di estrarre una pallina bianca e una gialla vale:

    \[P\{X=-1\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{1}\cdot \displaystyle\binom{2}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{8!}{1!7!} \cdot \dfrac{2!}{1!1!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{16}{91}\]

Infine per calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera e una gialla vale

    \[P\{X=2\}=\dfrac{\displaystyle\binom{4}{1}\cdot \displaystyle\binom{2}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!} \cdot \dfrac{2!}{1!1!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{8}{91}\]

Riassumendo le probabilità sono:

    \[\boxcolorato{superiori}{\begin{matrix} P\{X=-2\}=\dfrac{28}{91} & & P\{X=-1\}=\dfrac{16}{91} & &P\{X=0\}=\dfrac{1}{91}\\ & & & & & \\ P\{X=1\}=\dfrac{32}{91} & & P\{X=2\}=\dfrac{8}{91} & & P\{X=4\}=\dfrac{6}{91}\\ \end{matrix}}\]

 

 

Fonte : Il testo dell’esercizio è tratto dal libro S.Ross
Soluzione fornita da Qui Si Risolve