Esercizio 1 – Variabili aleatorie – Urne e palline

Distribuzioni di probabilità, Scuola superiore, Variabili discrete

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Esercizio 1.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Due palline vengono scelte casualmente da un’urna che contiene 8 palline bianche, 4 palline nere e 2 palline gialle.
Ipotizzando di vincere 2 euro per ogni pallina nera estratta e di perdere un euro per ogni pallina bianca estratta, sia X la vincita. Determinare i possibili valori di X calcolandone la probabilità.

 

Svolgimento. Se vengono scelte due palline, si possono presentare il caso che si estraggano:

– Due palline bianche: perciò si perdono due euro, quindi possiamo assumere che X=-2
– Due palline nere: perciò si vincono quattro euro, possiamo assumere in questo caso X=4
– Due palline gialle : non si vince niente, quindi assumiamo X=0.
– Una pallina nera e una bianca: si vince un euro (perché si vince due euro per aver estratto una pallina nera e si perde un euro per aver estratto una pallina bianca). Si può assumere X=1
– Una pallina nera e una gialla: si vince due euro (perché si vince due euro per aver estratto una pallina nera e non si perde niente se si estrae una pallina gialla). Si può assumere X=2
– Una pallina bianca e una gialla: si perde un euro (perché si perde un euro per aver estratto una pallina bianca e non si perde niente se si estrae una pallina gialla). Si può assumere X=-1

Calcoliamo ora le probabilità richieste.

Ricaviamo la probabilità di estrarre due palline bianche, cioè calcoliamo P\{X=-2\}.
La probabilità può essere determinata calcolando i casi favorevoli e i casi totali. I casi favorevoli sono \displaystyle\binom{8}{2}, cioè sono le possibilità di estrarre esattamente due palline bianche dalle otto che sono presenti nell’urna, i casi totali sono i modi di estrarre due palline dal numero totale di palline contenute nell’urna. Quindi la probabilità di perdere due euro per aver estratto due palline bianche sono:

    \[P\{X=-2\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{8!}{2!6!}}{\displaystyle\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{28}{91}\]

Allo stesso modo calcoliamo la probabilità di estrarre due palline nere. Il caso totale rimane invariato e vale sempre \displaystyle\binom{14}{2}, dobbiamo solo calcolare i casi favorevoli. Per estrarre due palline nere dalle quattro presenti nell’urna sono in tutto \displaystyle\binom{4}{2}. Di conseguenza:

    \[P\{X=4\}=\dfrac{\displaystyle\binom{4}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{6}{91}\]

Per estrarre due palline gialle, abbiamo:

    \[P\{X=0\}=\dfrac{\displaystyle\binom{2}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{1}{91}\]

Per calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera e una pallina bianca, il caso favorevole è dato dal numero di modi di estrarre una pallina nera dalle quattro totali, ossia \displaystyle\binom{4}{1}, e di estrarre una pallina bianca, ossia \displaystyle\binom{8}{1}. In tutto ci sono \displaystyle\binom{4}{1}\cdot\displaystyle\binom{8}{1} modi. Da cui

    \[P\{X=1\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{1} \cdot \displaystyle\binom{4}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{8!}{1!7!} \cdot \dfrac{4!}{1!3!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{32}{91}\]

Analogamente si procede negli ultimi due casi: la probabilità di estrarre una pallina bianca e una gialla vale:

    \[P\{X=-1\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{1}\cdot \displaystyle\binom{2}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{8!}{1!7!} \cdot \dfrac{2!}{1!1!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{16}{91}\]

Infine per calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera e una gialla vale

    \[P\{X=2\}=\dfrac{\displaystyle\binom{4}{1}\cdot \displaystyle\binom{2}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!} \cdot \dfrac{2!}{1!1!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{8}{91}\]

Riassumendo le probabilità sono:

    \[\boxcolorato{superiori}{\begin{matrix} P\{X=-2\}=\dfrac{28}{91} & & P\{X=-1\}=\dfrac{16}{91} & &P\{X=0\}=\dfrac{1}{91}\\ & & & & & \\ P\{X=1\}=\dfrac{32}{91} & & P\{X=2\}=\dfrac{8}{91} & & P\{X=4\}=\dfrac{6}{91}\\ \end{matrix}}\]

 

 

Fonte : Il testo dell’esercizio è tratto dal libro S.Ross
Soluzione fornita da Qui Si Risolve