Due palline vengono scelte casualmente da un’urna che contiene 8 palline bianche, 4 palline nere e 2 palline gialle.
Ipotizzando di vincere 2 euro per ogni pallina nera estratta e di perdere un euro per ogni pallina bianca estratta, sia
la vincita. Determinare i possibili valori di calcolandone la probabilità.
Svolgimento. Se vengono scelte due palline, si possono presentare il caso che si estraggano:
– Due palline bianche: perciò si perdono due euro, quindi possiamo assumere che 
– Due palline nere: perciò si vincono quattro euro, possiamo assumere in questo caso 
– Due palline gialle : non si vince niente, quindi assumiamo 
.
– Una pallina nera e una bianca: si vince un euro (perché si vince due euro per aver estratto una pallina nera e si perde un euro per aver estratto una pallina bianca). Si può assumere 
– Una pallina nera e una gialla: si vince due euro (perché si vince due euro per aver estratto una pallina nera e non si perde niente se si estrae una pallina gialla). Si può assumere 
– Una pallina bianca e una gialla: si perde un euro (perché si perde un euro per aver estratto una pallina bianca e non si perde niente se si estrae una pallina gialla). Si può assumere 
Calcoliamo ora le probabilità richieste.
Ricaviamo la probabilità di estrarre due palline bianche, cioè calcoliamo 
.
La probabilità può essere determinata calcolando i casi favorevoli e i casi totali. I casi favorevoli sono 
, cioè sono le possibilità di estrarre esattamente due palline bianche dalle otto che sono presenti nell’urna, i casi totali sono i modi di estrarre due palline dal numero totale di palline contenute nell’urna. Quindi la probabilità di perdere due euro per aver estratto due palline bianche sono:
![\[P\{X=-2\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\displaystyle\dfrac{8!}{2!6!}}{\displaystyle\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{28}{91}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0a4a778abd0cf44d41bbca46e6145030_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Allo stesso modo calcoliamo la probabilità di estrarre due palline nere. Il caso totale rimane invariato e vale sempre 
, dobbiamo solo calcolare i casi favorevoli. Per estrarre due palline nere dalle quattro presenti nell’urna sono in tutto 
. Di conseguenza:
![\[P\{X=4\}=\dfrac{\displaystyle\binom{4}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{6}{91}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7ef5fbae9ce60ba26159a03aeacc0f41_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per estrarre due palline gialle, abbiamo:
![\[P\{X=0\}=\dfrac{\displaystyle\binom{2}{2}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{1}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{1}{91}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a9cd0e3d255fff59c2c4a9020cda35d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Per calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera e una pallina bianca, il caso favorevole è dato dal numero di modi di estrarre una pallina nera dalle quattro totali, ossia 
, e di estrarre una pallina bianca, ossia 
. In tutto ci sono 
modi. Da cui
![\[P\{X=1\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{1} \cdot \displaystyle\binom{4}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{8!}{1!7!} \cdot \dfrac{4!}{1!3!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{32}{91}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1a830c200de435e330c78bca74b90231_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Analogamente si procede negli ultimi due casi: la probabilità di estrarre una pallina bianca e una gialla vale:
![\[P\{X=-1\}=\dfrac{\displaystyle\binom{8}{1}\cdot \displaystyle\binom{2}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{8!}{1!7!} \cdot \dfrac{2!}{1!1!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{16}{91}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d68d2539f0fa77f648b3bc0d359c866_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Infine per calcolare la probabilità di estrarre una pallina nera e una gialla vale
![\[P\{X=2\}=\dfrac{\displaystyle\binom{4}{1}\cdot \displaystyle\binom{2}{1}}{\displaystyle\binom{14}{2}}=\dfrac{\dfrac{4!}{2!2!} \cdot \dfrac{2!}{1!1!}}{\dfrac{14!}{2!12!}}=\dfrac{8}{91}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9fe18c6c6a343e4a947e76c467422e72_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Riassumendo le probabilità sono:
![\[\boxcolorato{superiori}{\begin{matrix} P\{X=-2\}=\dfrac{28}{91} & & P\{X=-1\}=\dfrac{16}{91} & &P\{X=0\}=\dfrac{1}{91}\\ & & & & & \\ P\{X=1\}=\dfrac{32}{91} & & P\{X=2\}=\dfrac{8}{91} & & P\{X=4\}=\dfrac{6}{91}\\ \end{matrix}}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6b80373d265a417b32d823e82cf46f35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte : Il testo dell’esercizio è tratto dal libro S.Ross
Soluzione fornita da Qui Si Risolve