Retta tangente – Esercizio 3

Retta tangente

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare l’equazione della retta tangente al grafico della seguente funzione, nel punto indicato:

    \[f(x)=\dfrac{2}{3\sqrt{x}}		\hspace{3cm} x_0=4\]

 

Soluzione

L’equazione della retta tangente al grafico della funzione f nel punto x_0 ha la seguente equazione

    \[y-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)\]

dove f(x_0) è l’ordinata corrispondente all’ascissa x_0, f'(x_0) è la derivata della funzione valutata nel punto x_0 ed è il coefficiente angolare della retta tangente.\\
Calcoliamo

    \[f(x_0)=f(4) = \dfrac{2}{3\sqrt{4}} = {\color{blue}{\dfrac{1}{3}}}\]

poi la derivata della funzione è facile da calcolare riscrivendo la funzione

    \[f(x) = \dfrac{2}{3} \, x^{-1/2}\]

    \[f'(x) = -\dfrac{1}{3\sqrt{x^3}}\]

quindi valutandola nel punto x_0 troviamo il coefficiente angolare

    \[f'(x_0) =  -\dfrac{1}{3\sqrt{4^3}} = {\color{red}{- \dfrac{1}{24}}}\]

Dunque la retta tangente è

    \[y -  {\color{blue}{\dfrac{1}{3}}} = {\color{red}{- \dfrac{1}{24}}} (x-4) \quad \Rightarrow \quad\boxed{ y=-\dfrac{1}{24}x + \dfrac{1}{2}}\]


Fonte: Qui Si Risolve