Punti di non derivabilità – Esercizio 4

Punti di non derivabilità

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Studiare la natura degli eventuali punti di non derivabilità della seguente funzione

    \[f(x)=e^x \sqrt[3]{(x-1)^2} :\mathcal{D} \to \mathbb{R}\]

con \mathcal{D} dominio.

 

Soluzione

La funzione f ha dominio \mathcal{D}=\mathbb{R}. Dato che la funzione è continua nel suo dominio, cioè in \mathbb{R}, può essere derivabile in \mathbb{R}. Per studiare la derivabilità dobbiamo calcolare la derivata. Riscriviamo la funzione come segue

    \[f(x) = e^x (x-1)^{2/3}\]

così che la derivata sia

    \[f^\prime(x) = e^x \left( (x-1)^{2/3} + \dfrac{2}{3}(x-1)^{2/3-1}\right) = e^x \left(\sqrt[3]{(x-1)^2} + \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x-1}} \right)\]

e il dominio della derivata è \mathcal{D}'=\mathbb{R}\setminus\{1\}.
L’unico punto in cui dobbiamo studiare la derivabilità (o non derivabilità) è il punto x=1:

    \[\lim_{x \to 1^+} f'(x) = +\infty \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to 0^-} f'(x) = -\infty\]

I due limiti sono infiniti con segno opposto, quindi la funzione nel punto x=1 non è derivabile e x=1 è una cuspide.


Fonte: L.Sasso – La matematica a colori 4 – Petrini