Esercizio. 
Studiare la natura degli eventuali punti di non derivabilità della seguente funzione
Studiare la natura degli eventuali punti di non derivabilità della seguente funzione
![\[f(x)=\vert e^x-1 \vert :\mathcal{D} \to \mathbb{R}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5be62913c5be0c04eb8fcb96f477642b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
con 
dominio.
Soluzione
La funzione 
ha dominio 
. Dato che la funzione è continua nel suo dominio, cioè in 
, può essere derivabile in . Per studiare la derivabilità dobbiamo calcolare la derivata. Riscriviamo la funzione come segue
![\[f(x) = \begin{cases} e^x-1\qquad \mbox{se } x \ge 0\\ 1-e^x \qquad \mbox{se } x < 0 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2a6f519416dffdfcf9462abff4240580_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
così che la derivata sia
![\[f^\prime(x) = \begin{cases} e^x \qquad \mbox{se } x > 0\\ -e^x \qquad \mbox{se } x < 0 \end{cases}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3f09e43f3df0e364ccbfe271ac7184bc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
L’unico punto in cui dobbiamo studiare la derivabilità (o non derivabilità) è il punto 
:
![\[\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 1 \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to 0^-} f'(x) = -1\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f974eefffceb6522abbd5b9dcacd79db_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
I due limiti sono diversi e finiti, quindi la funzione nel punto non è derivabile e è un punto angoloso.
Fonte: L.Sasso – La matematica a colori 4 – Petrini