Punti di non derivabilità – Esercizio 2

Punti di non derivabilità

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Studiare la natura degli eventuali punti di non derivabilità della seguente funzione

    \[f(x)=x^3 \; \vert x \vert :\mathcal{D} \to \mathbb{R}\]

con \mathcal{D} dominio.

 

Soluzione

La funzione f ha dominio \mathcal{D}=\mathbb{R}. Dato che la funzione è continua nel suo dominio, cioè in \mathbb{R}, può essere derivabile in \mathbb{R}. Per studiare la derivabilità dobbiamo calcolare la derivata. Riscriviamo la funzione come segue

    \[f(x) = \begin{cases} 	x^4 \qquad \mbox{se } x \ge 0\\ 	-x^4 \qquad \mbox{se } x < 0 \end{cases}\]

così che la derivata sia

    \[f^\prime(x) =  \begin{cases} 	4x^3 \qquad \mbox{se } x > 0\\ 	-4x^3 \qquad \mbox{se } x < 0 \end{cases}\]

L’unico punto in cui dobbiamo studiare la derivabilità (o non derivabilità) è il punto x=0:

    \[\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0 \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0\]

Dato che i due limiti sono uguali e finiti, la funzione nel punto x=0 è derivabile.


Fonte: L.Sasso – La matematica a colori 4 – Petrini