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Punti di non derivabilità – Esercizio 1

Punti di non derivabilità

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Studiare la natura degli eventuali punti di non derivabilità della seguente funzione

    \[f(x)=\sqrt[5]{x^3}:\mathcal{D} \to \mathbb{R}\]

con \mathcal{D} dominio.

 

Soluzione

La funzione f ha dominio \mathcal{D}=\mathbb{R}. Dato che la funzione è continua nel suo dominio, cioè in \mathbb{R}, può essere derivabile in \mathbb{R}. Per studiare la derivabilità dobbiamo calcolare la derivata. Riscriviamo la funzione come segue

    \[f(x) = x^{\frac{3}{5}}\]

così che la derivata sia

    \[f^\prime(x) = \dfrac{3}{5} x^{\frac{3}{5}-1} = \dfrac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}} = \dfrac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}\]

Il dominio della derivata è

    \[\mathcal{D}' = \mathbb{R}\setminus\{0\}\]

Quindi dobbiamo studiare la derivabilità (o non derivabilità) nel punto x=0:

    \[\lim_{x \to 0^+} f'(x) = + \infty \qquad \mbox{e} \qquad \lim_{x \to 0^-} f'(x) = + \infty\]

Quindi il punto x=0 è un flesso a tangente verticale.


Fonte: L.Sasso – La matematica a colori 4 – Petrini