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Continuità e derivabilità – Esercizio 2

Punti di non derivabilità

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare il valore dei parametri affinché la funzione sia continua e derivabile

    \[f(x) = \begin{cases} a\cos^2x+b\sin x \qquad & \mbox{se } x<0\\\\ -\dfrac{2}{x+1}\qquad & \mbox{se } x\ge0 \end{cases}\]

 

Soluzione

Osserviamo che le singole funzioni sono continue e derivabili nel loro intervallo di definizione poiché la prima ha dominio \mathbb{R} mentre la seconda non è definita solo in x=-1 che non fa parte dell’intervallo di definizione (x\ge0).

Studio della continuità
Facciamo

    \[\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} \left(-\dfrac{2}{x+1} \right) = -2 \quad \mbox{e} \quad \lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} (a\cos^2x+b\sin x)=a\]

Affinché la funzione sia continua in x=0 i limiti devono essere finiti e uguali:

    \[\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^-} f(x) = f(0)\quad \Leftrightarrow \quad \boxed{a=-2}\]

Ora dobbiamo studiare la derivabilità.

Studio della derivabilità
Calcoliamo la derivata della funzione

    \[f(x) = \begin{cases} -2a\cos x\sin x b \cos x\qquad & \mbox{se } x<0\\ \dfrac{2}{(x+1)^2}\qquad & \mbox{se } x>0\\ \end{cases}\]

e affinché la funzione sia derivabile in x=0, la derivata destra e la derivata sinistra devono essere finite e uguali

    \[f'_-(0) = \lim_{x\to0^-} f'(x) = \lim_{x\to0^-} (-2a\cos x\sin x + b \cos x) = b\]

e

    \[f'_+(0) = \lim_{x\to0^+} f'(x) = \lim_{x\to0^+} \dfrac{2}{(x+1)^2} =2\]

da cui

    \[\boxed{b=2}\]

Quindi concludiamo che affinché la funzione sia continua e derivabile deve essere

    \[\boxed{a=-2 \qquad \mbox{e} \qquad b=2}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Volume 5 – Zanichelli
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