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Continuità e derivabilità – Esercizio 1

Punti di non derivabilità

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Determinare il valore dei parametri affinché la funzione sia continua e derivabile

    \[f(x) = \begin{cases} x^2+bx-a \qquad & \mbox{se } x\le0\\ x-2b\qquad & \mbox{se } x>0\\ \end{cases}\]

 

Soluzione

Osserviamo che le singole funzioni sono continue e derivabili nel loro intervallo di definizione poiché polinomi, quindi l’unico punto critico per la continuità è x=0.

Studio della continuità
Facciamo

    \[\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} \left(x-2b\right) = -2b \quad \mbox{e} \quad \lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} (x^2+bx-a)=-a\]

Affinché la funzione sia continua in x=0 i limiti devono essere finiti e uguali:

    \[\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^-} f(x) =f(0) \quad \Leftrightarrow \quad -2b=-a \quad \Leftrightarrow \quad \boxed{a=2b}\]

Ora dobbiamo studiare la derivabilità.

Studio della derivabilità
Calcoliamo la derivata della funzione

    \[f(x) = \begin{cases} 2x+b \qquad & \mbox{se } x<0\\ 1\qquad & \mbox{se } x>0\\ \end{cases}\]

e affinché la funzione sia derivabile in x=0, la derivata destra e la derivata sinistra devono essere finite e uguali

    \[f'_-(0) = \lim_{x\to0^-} f'(x) = \lim_{x\to0^-} (2x+b) =b\]

e

    \[f'_+(0) = \lim_{x\to0^+} f'(x) = \lim_{x\to0^+} 1=1\]

da cui

    \[\boxed{b=1}\]

Allora unendo i risultati riquadrati abbiamo

    \[\begin{cases} a=2b\\b=1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} a=2\\ b=1 \end{cases}\]

Quindi concludiamo che affinché la funzione sia continua e derivabile deve essere

    \[\boxed{a=2 \qquad \mbox{e} \qquad b=1}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 – Volume 5 – Zanichelli
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