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Derivate e fisica – Esercizio 5

Legami con la fisica

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Un corpo si muove nel piano Oxy; la traiettoria descritta dal corpo ha le seguenti equazioni parametriche:

    \[\begin{cases} x=\dfrac{t}{2}\\\\ y=\dfrac{1}{2}t^2 -t+2 \end{cases}\]

dove t è misurato in secondi, mentre x e y sono espressi in metri.
a) Scrivi l’equazione cartesiana della traiettoria;
b) Calcola il modulo della velocità dopo 3 secondi;
c) Verifica che l’accelerazione è costante al variare del tempo.

 

Soluzione

Svolgimento a)
È sufficiente sostituire t=2x, ricavato dalla prima equazione, nella seconda equazione del sistema

    \[y = \dfrac{1}{2}\; (2x)^2 - 2x + 2 \quad \Rightarrow \quad y = 2x^2-2x+2\]

Svolgimento b)
Per calcolare il modulo della velocità dobbiamo calcolare le componenti della velocità, quindi deriviamo

    \[\begin{cases} x=\dfrac{t}{2}\\\\ y=\dfrac{1}{2}t^2 -t+2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} v_x=x'=\dfrac{1}{2}\\\\ v_y=y'=t-1 \end{cases}\]

Quindi

    \[v(t) = \sqrt{v_x(t)^2+v_y(t)^2} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + (t-1)^2}\]

e dopo 3 secondi vale

    \[v(3) = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + 4} = \sqrt{\dfrac{17}{4}} = \dfrac{\sqrt{17}}{2} \; \text{m/s}\]

Svolgimento c)
Calcoliamo le componenti dell’accelerazione in modo analogo alla velocità:

    \[\begin{cases} a_x=v_x'=0\\ a_y=v_y'=1 \end{cases}\]

Essendo le componenti costanti a maggior ragione il modulo dell’accelerazione sarà costante.


Fonte: Nuova Matematica a Colori 4 Edizione Verde – Petrini