Derivate e fisica – Esercizio 4

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Se una palla viene lanciata da terra verso l’alto con una velocità di 60 m/s, la sua altezza s dopo t secondi è data approssimativamente da s=60t-5t^2. Qual è l’altezza massima raggiunta dalla palla?

 

Soluzione

Dobbiamo calcolare il massimo della funzione che descrive lo spostamento verticale:

    \[s = 60t-5t^2\]

quindi ne facciamo la derivata rispetto a t

    \[s'=60-10t\]

La poniamo uguale a zero

    \[s'(t)=0 \quad \Rightarrow \quad 60-10t=0 \quad \Rightarrow \quad t = 6 \, \text{s}\]

Dunque t=6 è un possibile punto di massimo. Andiamo a porre la derivata maggiore di zero, trovando

    \[s'(t)>0 \quad \Rightarrow \quad t<6\]

concludendo che t=6 s è un punto di massimo. Dunque al tempo t=6 s la palla raggiunge l’altezza massima e andando a sostituire questo valore nella legge dello spostamento troviamo l’altezza massima

    \[s(6) = \left( 60 \cdot 6  - 5 \cdot 6^2 \right) \text{m} = \left( 360 - 180 \right) \text{m} = 180\, \text{m}\]


Fonte: Nuova Matematica a Colori 4 Edizione Verde – Petrini