Esercizi su permutazioni semplici

Raccolta di esercizi sulle permutazioni semplici.

Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.

Una permutazione di un gruppo di oggetti distinti consiste in un particolare ordinamento di tali oggetti, ossia costruire una “stringa” ordinata costituita dagli oggetti. Usualmente, lo scopo del calcolo combinatorio è determinare il numero di tali permutazioni: osserviamo che la scelta dell’oggetto da porre in prima posizione avviene tra oggetti diversi; per ciascuna di tali possibilità, la scelta del secondo oggetto avviene tra oggetti diversi, dunque si hanno combinazioni possibili; continuando così, fino all’ultimo oggetto, che sarà l’unico rimasto una volta scelti tutti gli altri, si ottiene che

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dove appunto con si indica il prodotto di tutti i numeri naturali da a , mentre si pone per convenzione . Poiché le permutazioni sono tutte e sole le funzioni biettive da un insieme in sé, è pari al numero di funzioni biettive tra due insiemi di elementi.

La classifica finale è una sequenza ordinata di nove concorrenti distinti; poiché ciascun concorrente può occupare una sola posizione, si tratta di una permutazione semplice di elementi.

In termini combinatori il numero di permutazioni di oggetti distinti è

La prima cifra del numero è una tra , dunque può essere decisa in modi distinti. Per decidere quale stringa di cifre si possa affiancare a tale primo numero, si può pensare di ordinare le cifre non ancora utilizzate in un modo qualsiasi e prenderne le prime . Ricordiamo che cifre si possono permutare in modi diversi; dato che il modo in cui vengono ordinate le ultime due cifre è indifferente ai fini delle prime cifre, bisogna dividere per il numero di tali ordinamenti. In definitiva, il numero richiesto è