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Esercizi su permutazioni con ripetizione

Permutazioni

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle permutazioni con ripetizione.

 
 

Autori e revisori

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Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali: 0,1,2,\dots;
n!    Fattoriale di n, pari a n\cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1;
P_{n}    Numero delle permutazioni di n oggetti, pari a n!.


 
 

Richiami di teoria

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Una permutazione di n oggetti distinti consiste in un loro particolare ordinamento, ossia costruire una “stringa” ordinata costituita dagli n oggetti. Se essi sono tutti distinti, si parla di permutazione semplice e il numero di tali riordinamenti si vede subito essere pari a

\[ n!=n \cdot (n-1) \cdots 2 \cdot 1, \]

in quanto il primo oggetto può essere scelto in n modi, per ciascuna di tali scelte il secondo oggetto può essere scelto in n-1 modi, e così via, fino all’ultimo oggetto che può essere scelto in un unico modo in quanto è l’ultimo rimasto.

Se invece tra gli oggetti da riordinare ve ne sono però alcuni identici, o che è possibile considerare intercambiabili, si parla di permutazioni con ripetizione. Il ragionamento appena concluso non produce il numero corretto dei riordinamenti: ad esempio l’unico numero che si può formare con due cifre 6 è 66, mentre con le cifre 4 e 5 si possono formare i numeri 45 e 54.

In questo caso è semplice effettuare il calcolo, ma come calcolare, ad esempio, il numero di anagrammi della parola “TRATTARE”, in cui si presentano tre lettere “T” e due “A”?

Supponiamo per un attimo che le tre “T” e le due “A” siano distinte tra loro, ovvero chiamiamole \mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2 e \mathrm{T}_3 le tre “T” e \mathrm{A}_1 e \mathrm{A}_2 le due “A”.

Per lo stesso ragionamento di prima, le permutazioni delle otto lettere “\mathrm{T}_1R\mathrm{A}_1\mathrm{T}_2\mathrm{T}_3\mathrm{A}_2RE” sono 8!. In questo computo, abbiamo considerato diversi gli anagrammi che differiscono solo per un riordinamento delle tre lettere “T” e le due “A”. Occorre quindi determinare quanti sono questi “doppioni” di ciascun anagramma e dividere 8! per tale numero. A tal fine, osserviamo che, fissato un anagramma, le tre “T” si possono riordinare in 3! modi distinti; per ciascuno di tali riordinamenti, le due “A” si possono riordinare in 2 modi distinti. Moltiplicando tra loro queste possibilità indipendenti, otteniamo che, da ciascun riordinamento, gli anagrammi che differiscono solo per le posizioni dei pedici sono 3! \cdot 2!= 12.

Concludiamo che gli anagrammi della parola trattare sono

\[ \frac{8!}{3! \cdot 2!}. \]

Generalizzando, avendo a disposizione n oggetti tra cui vi sono k gruppi, ciascuno dei quali sia costituito da m_1,\dots m_k oggetti identici, il numero di permutazioni con ripetizione di tali oggetti è

(1) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ \frac{n!}{(m_1)! \cdots (m_k)!}. } \end{equation*}


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcola quanti anagrammi, anche senza significato, si possono fare con le parole:

\[            \text{SERIE}, \qquad            \text{VENTO}, \qquad            \text{STATISTA}.         \]

Svolgimento.

Usiamo la formula (1) dimostrata nei richiami teorici.

\[\quad\]

  1. Nella parola “SERIE” le consonanti sono distinte, mentre vi sono due lettere “E”. Dunque il numero di anagrammi richiesto è

    \[ \frac{5!}{2!} = \boxcolorato{superiori}{ 60. } \]

  2.  

  3. La parola “VENTO” è costituita da cinque lettere distinte, dunque il numero di anagrammi è dato dal numero di permutazioni di cinque oggetti senza ripetizione:

    \[ \boxcolorato{superiori}{ 5!=120. }\]

  4.  

  5. La parola “STATISTA” è costituita da otto lettere, tra cui vi sono tre lettere “T”, due “S” e due “A”. Il numero di anagrammi di tale parola è quindi

    \[ \frac{8!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \boxcolorato{superiori}{ 1\,680.} \]


 
 

Esercizio 2  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Una moneta viene lanciata dieci volte. In quanti modi si può presentare una successione contenente sette teste e tre croci?

Svolgimento.

I dieci lanci generano una sequenza ordinata di simboli \mathrm{T} (testa) e \mathrm{C} (croce). Al fine di contare le sequenze che contengono esattamente 7 teste e 3 croci, si può immaginare di dover permutare un gruppo di 10 lettere, di cui 7 sono lettere T e 3 sono lettere C, pertanto grazie a (1), il numero richiesto è

\[ \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2} = \boxcolorato{superiori}{ 120. } \]


 
 

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