Esercizi su permutazioni con ripetizione

Raccolta di esercizi sulle permutazioni con ripetizione.

Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.

	Insieme dei numeri naturali: ;
	Fattoriale di , pari a ;
	Numero delle permutazioni di oggetti, pari a .

Una permutazione di oggetti distinti consiste in un loro particolare ordinamento, ossia costruire una “stringa” ordinata costituita dagli oggetti. Se essi sono tutti distinti, si parla di permutazione semplice e il numero di tali riordinamenti si vede subito essere pari a

in quanto il primo oggetto può essere scelto in modi, per ciascuna di tali scelte il secondo oggetto può essere scelto in modi, e così via, fino all’ultimo oggetto che può essere scelto in un unico modo in quanto è l’ultimo rimasto.

Se invece tra gli oggetti da riordinare ve ne sono però alcuni identici, o che è possibile considerare intercambiabili, si parla di permutazioni con ripetizione. Il ragionamento appena concluso non produce il numero corretto dei riordinamenti: ad esempio l’unico numero che si può formare con due cifre è , mentre con le cifre e si possono formare i numeri e .

In questo caso è semplice effettuare il calcolo, ma come calcolare, ad esempio, il numero di anagrammi della parola “TRATTARE”, in cui si presentano tre lettere “T” e due “A”?

Supponiamo per un attimo che le tre “T” e le due “A” siano distinte tra loro, ovvero chiamiamole , e le tre “T” e e le due “A”.

Per lo stesso ragionamento di prima, le permutazioni delle otto lettere “RRE” sono . In questo computo, abbiamo considerato diversi gli anagrammi che differiscono solo per un riordinamento delle tre lettere “T” e le due “A”. Occorre quindi determinare quanti sono questi “doppioni” di ciascun anagramma e dividere per tale numero. A tal fine, osserviamo che, fissato un anagramma, le tre “T” si possono riordinare in modi distinti; per ciascuno di tali riordinamenti, le due “A” si possono riordinare in modi distinti. Moltiplicando tra loro queste possibilità indipendenti, otteniamo che, da ciascun riordinamento, gli anagrammi che differiscono solo per le posizioni dei pedici sono .

Concludiamo che gli anagrammi della parola trattare sono

Generalizzando, avendo a disposizione oggetti tra cui vi sono gruppi, ciascuno dei quali sia costituito da oggetti identici, il numero di permutazioni con ripetizione di tali oggetti è

(1)

Usiamo la formula (1) dimostrata nei richiami teorici.

1. Nella parola “SERIE” le consonanti sono distinte, mentre vi sono due lettere “E”. Dunque il numero di anagrammi richiesto è

   

 

2. La parola “VENTO” è costituita da cinque lettere distinte, dunque il numero di anagrammi è dato dal numero di permutazioni di cinque oggetti senza ripetizione:

   

 

3. La parola “STATISTA” è costituita da otto lettere, tra cui vi sono tre lettere “T”, due “S” e due “A”. Il numero di anagrammi di tale parola è quindi

   

I dieci lanci generano una sequenza ordinata di simboli (testa) e (croce). Al fine di contare le sequenze che contengono esattamente teste e croci, si può immaginare di dover permutare un gruppo di lettere, di cui sono lettere e sono lettere , pertanto grazie a (1), il numero richiesto è