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Esercizi misti sul calcolo combinatorio

Esercizi Misti in Calcolo Combinatorio

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Sommario

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Raccolta di esercizi misti sul calcolo combinatorio.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali: 0,1,2,\dots;
n!    Fattoriale del numero naturale n, ossia il prodotto dei numeri naturali da 1 a n; si pone 0!=1;
\displaystyle \binom{n}{k}    Coefficiente binomiale n su k.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Avendo a disposizione sette equazioni, quanti sistemi contenenti tre di esse si possono formare?

Svolgimento.

Il problema è equivalente a scegliere un sottoinsieme di 3 elementi da un insieme che ne contiene 7, ovvero di determinare il numero delle combinazioni semplici di 3 oggetti scelti tra 7, che è dato dal coefficiente binomiale

\[ \binom{7}{3} =\frac{7!}{3!\,4!} =\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1} = \boxcolorato{superiori}{35. }\]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Si vogliono comporre delle sigle di tre elementi usando le cinque vocali e le sei consonanti B, C, D, F, G, H. Quante sigle diverse è possibile ottenere se al primo posto occorre inserire una vocale, mentre al secondo e al terzo posto deve esserci una consonante?

Svolgimento.

Per costruire la sigla di tre elementi abbiamo queste scelte indipendenti:

\[ \begin{aligned} \text{primo posto (vocale)} &:\; 5 \text{ possibilità},\\ \text{secondo posto (consonante)}&:\; 6 \text{ possibilità},\\ \text{terzo posto (consonante)} &:\; 6 \text{ possibilità}. \end{aligned} \]

Poiché le scelte sono fra loro indipendenti, il numero totale di sigle si ottiene dal prodotto delle tre possibilità:

\[ 5 \cdot 6 \cdot 6 = \boxcolorato{superiori}{ 180. } \]

 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Quanti numeri pari di quattro cifre diverse si possono scrivere utilizzando quelle dell’insieme A=\{0,1,2,3,4,5,6\}?

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