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Esercizi su combinazioni semplici

Combinazioni

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Sommario

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Raccolta di esercizi sulle combinazioni semplici.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali: 0,1,2,\dots;
n!    Fattoriale del numero naturale n, ossia il prodotto dei numeri naturali da 1 a n; si pone 0!=1;
\displaystyle \binom{n}{k}    Coefficiente binomiale n su k.

 
 

Introduzione

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Una combinazione semplice di k elementi scelti in un insieme A che ne contiene n, con 0 \leq k \leq n, è un sottoinsieme di A costituito da k elementi distinti. Questa idea si applica a numerose situazioni pratiche in cui occorre selezionare alcuni elementi di un insieme senza riguardo all’ordine in cui questi sono scelti, ad esempio dovendo selezionare una squadra di 5 persone tra 8, oppure nel caso delle estrazioni del lotto, dove contano solamente i numeri estratti (tutti distinti) e non il loro ordine.

Un interessante problema del calcolo combinatorio consiste nel determinare il numero C_{n,k} di tali combinazioni: fissati n e k, quante sono le combinazioni semplici di k elementi scelti tra n disponibili? Si può ragionare in primo luogo considerando anche l’ordine di scelta: il primo elemento può essere scelto in n modi; il secondo, dovendo essere diverso dal primo, può essere scelto in (n-1) modi, e così via, fino al k-esimo, che può essere scelto in n-k+1 modi diversi. Si hanno cioè n(n-1) \cdots (n-k+1) modi diversi di selezionare questo sottoinsieme “ordinato” (detto anche disposizione semplice).

In questo modo, però, stiamo considerando distinti due sottoinsiemi che differiscono solo per l’ordine di scelta degli elementi. Poiché ogni insieme di k elementi può essere ordinato (o permutato) in k! modi diversi, per determinare il numero di combinazioni cercato occorre dividere n(n-1) \cdots (n-k+1) per k!, ossia:

(1) \begin{equation*} C_{n,k} = \frac{n(n-1) \cdots (n-k+1)}{k!}. \end{equation*}

Moltiplicando numeratore e denominatore per (n-k)!, al numeratore si ottiene il fattoriale di n e la formula diventa

(2) \begin{equation*} \boxcolorato{superiori}{ C_{n,k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \binom{n}{k}, } \end{equation*}

dove il simbolo \binom{n}{k} è detto coefficiente binomiale di n su k. Come osservato anche nell’articolo sui coefficienti binomiali, poiché \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n, la formula (2) implica che il numero totale di sottoinsiemi (senza vincoli sulla cardinalità) di un insieme di n elementi è pari a 2^n.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Quante sestine si possono formare scegliendo 6 numeri tra i settanta di un concorso a premi?

Svolgimento.

Una “sestina” è un sottoinsieme di 6 numeri scelti fra i 70 disponibili; l’ordine non conta e non ci sono ripetizioni. Il numero dei possibili sottoinsiemi è quindi pari al numero di combinazioni di 6 elementi scelti tra 70, ovvero

\[ C_{70,6} = \binom{70}{6} = \frac{70!}{6!\,64!} = \frac{70\cdot69\cdot68\cdot67\cdot66\cdot65}{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1} = \boxcolorato{superiori}{131\,115\,985.} \]


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). In un’estrazione si hanno a disposizione ottanta numeri.

\[\quad\]

  1. Quante quaterne distinte si possono formare?

    2.  

  2. Quante terne distinte si possono formare?

Svolgimento punto 1.

Con gli ottanta numeri disponibili scegliamo sottoinsiemi senza ripetizioni; l’ordine di estrazione non conta, quindi si tratta di combinazioni semplici.

Occorre selezionare 4 numeri su 80:

\[ C_{80,4}= \binom{80}{4} =\frac{80!}{4!\,76!} =\frac{80\cdot79\cdot78\cdot77}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \boxcolorato{superiori}{ 1\,581\,580.} \]


Svolgimento punto 2.

Occorre selezionare 3 numeri su 80:

\[ C_{80,3}= \binom{80}{3} =\frac{80!}{3!\,77!} =\frac{80\cdot79\cdot78}{3\cdot2\cdot1} = \boxcolorato{superiori}{ 82\,160.} \]


 
 

Esercizio 3 (\bigstar\bigstar\largewhitestar). Calcolare il numero di sestine che contengono esattamente tre numeri prefissati, scelte tra settanta numeri disponibili.

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