Combinazioni semplici – Esercizio 5

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Esercizio.  (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Un equipaggio di un treno è costituito da due macchinisti, un capotreno e un bigliettaio. In una certa unità operativa sono in forza 50 macchinisti, 30 capotreno e 80 bigliettai. Quanti equipaggi diversi si possono formare con il personale di quel compartimento?

 

Soluzione

Il primo gruppo è composto da 50 macchinisti che si possono combinare senza ripetizioni su due posizioni:

    \[n_1 = C(50,2) = \begin{pmatrix} 50\\2 \end{pmatrix} = \dfrac{50!}{2! \cdot 48!} = \dfrac{50\cdot49\cdot48!}{2 \cdot 48!} = \dfrac{50\cdot49\cdot\cancel{48!}}{2 \cdot \cancel{48!}} = 25 \cdot 49 = 1225\]

Il secondo gruppo è composto da 30 capotreno che si possono combinare senza ripetizioni su una posizione:

    \[n_2 = C(30,1) = \begin{pmatrix} 30\\1 \end{pmatrix} = \dfrac{30!}{1! \cdot 29!} = \dfrac{30\cdot29!}{29!} = 30\]

Il terzo e ultimo gruppo è composto da 80 bigliettati che si possono combinare senza ripetizioni su una posizione:

    \[n_3 = C(80,1) = \begin{pmatrix} 80\\1 \end{pmatrix} = \dfrac{80!}{1! \cdot 79!} = 80\]

Per il principio fondamentale del calcolo combinatorio i modi sono:

    \[n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 = 1125 \cdot 30 \cdot 80 = 2940000\]

Quindi la soluzione è

    \[\boxed{2940000}\]

Principio fondamentale del calcolo combinatorio
Se l’evento E_1 si può presentare in n_1 modi e l’evento E_2 si può presentare in n_2 modi allora l’evento congiunto E_1 \cap E_2 si può presentare in n_1 \cdot n_2 modi.


Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini