Combinazioni semplici – Esercizio 5

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Esercizio. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar)$ Un equipaggio di un treno è costituito da due macchinisti, un capotreno e un bigliettaio. In una certa unità operativa sono in forza $50$ macchinisti, $30$ capotreno e $80$ bigliettai. Quanti equipaggi diversi si possono formare con il personale di quel compartimento?

Soluzione

Il primo gruppo è composto da $50$ macchinisti che si possono combinare senza ripetizioni su due posizioni:

$n_1 = C(50,2) = \begin{pmatrix} 50\\2 \end{pmatrix} = \dfrac{50!}{2! \cdot 48!} = \dfrac{50\cdot49\cdot48!}{2 \cdot 48!} = \dfrac{50\cdot49\cdot\cancel{48!}}{2 \cdot \cancel{48!}} = 25 \cdot 49 = 1225$

Il secondo gruppo è composto da $30$ capotreno che si possono combinare senza ripetizioni su una posizione:

$n_2 = C(30,1) = \begin{pmatrix} 30\\1 \end{pmatrix} = \dfrac{30!}{1! \cdot 29!} = \dfrac{30\cdot29!}{29!} = 30$

Il terzo e ultimo gruppo è composto da $80$ bigliettati che si possono combinare senza ripetizioni su una posizione:

$n_3 = C(80,1) = \begin{pmatrix} 80\\1 \end{pmatrix} = \dfrac{80!}{1! \cdot 79!} = 80$

Per il principio fondamentale del calcolo combinatorio i modi sono:

$n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 = 1125 \cdot 30 \cdot 80 = 2940000$

Quindi la soluzione è

$\boxed{2940000}$

Principio fondamentale del calcolo combinatorio
Se l’evento $E_1$ si può presentare in $n_1$ modi e l’evento $E_2$ si può presentare in $n_2$ modi allora l’evento congiunto $E_1 \cap E_2$ si può presentare in $n_1 \cdot n_2$ modi.

Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini

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