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Combinazioni con ripetizioni – Esercizio 1

Combinazioni

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Esercizio. (\bigstar\bigstar\largewhitestar) Determinare il numero di terne (x_1, x_2, x_3) con x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{N} che soddisfano l’equazione x_1+x_2+x_3=12

 

Soluzione

Questo tipo di esercizio consiste nel determinare il numero di combinazione con ripetizione con n=3 e k=12; questo perché la somma gode della proprietà commutativa quindi non importa l’ordine (questa proprietà ci dice che sono combinazioni) e si possono sommare gli stessi numeri (ci sono ripetizioni), dunque

    \[C'(3,12) = \begin{pmatrix} 12+3-1\\3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14\\3 \end{pmatrix} = \dfrac{14!}{3! \cdot 11!} = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot \cancel{11!}}{3 \cdot 2 \cdot \cancel{11!}} = 91\]

Quindi la soluzione è

    \[\boxed{91}\]


Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini