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Esercizi su Coefficienti binomiali e Binomio di Newton

Coefficienti binomiali e binomio di Newton

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Sommario

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Raccolta di esercizi sui coefficienti binomiali.

 
 

Autori e revisori

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Autori: Valerio Brunetti.

Revisori: Daniele Volpe, Luigi De Masi.


 
 

Notazioni

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\mathbb{N}    Insieme dei numeri naturali: 0,1,2,\dots;
n!    Fattoriale del numero naturale n, ossia il prodotto dei numeri naturali da 1 a n; si pone 0!=1;
\displaystyle \binom{n}{k}    Coefficiente binomiale n su k.


 
 

Introduzione

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Il coefficiente binomiale è un importante strumento del calcolo combinatorio: dati n e k con 0 \leq k \leq n esso è definito come

(1) \begin{equation*} \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{equation*}

e rappresenta, come il nome stesso suggerisce, il coefficiente che, nello sviluppo del binomio (a+b)^n, possiede il termine a^{n-k} b^k. Ciò conduce alla formulazione dell’equazione nota come binomio di Newton:

(2) \begin{equation*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}a^{n-k} b^{k}. \end{equation*}

La nozione di coefficiente binomiale, oltre alla sua utilità algebrica, deve la sua continua presenza nella matematica alle numerose proprietà combinatorie che descrive: il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme avente n elementi è dato proprio dal coefficiente binomiale \binom{n}{k}, come si può vedere nell’articolo sulle combinazioni semplici. Poiché, come si vedrà nell’esercizio 4, si ha 2^n= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}, tale interpretazione di \binom{n}{k} implica che 2^n è il numero dei sottoinsiemi di un insieme di n elementi, ossia la cardinalità del suo insieme delle parti.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar). Calcolare lo sviluppo dei seguenti binomi:

\[\quad\]

  1. \bigl(3a - 4y\bigr)^{3}, \quad \bigl(a + 3b\bigr)^{7};

    2.  

  2. \bigl(x^{2} + y^{3}\bigr)^{5}, \quad \displaystyle\left(x - \frac{2}{x}\right)^{6};

    3.  

  3. \bigl(4x^{2} - 5c^{3}\bigr)^{4}, \quad \displaystyle\left(\frac{a}{3} + x\right)^{9}.

Svolgimento punto 1.

Applichiamo la formula (2) ai binomi richiesti.

Si ha

\[ \begin{aligned} (3a-4y)^{3} &= \sum_{k=0}^3 \binom{3}{k} (3a)^{3-k} (-4b)^{k} \\ &=\binom{3}{0}(3a)^{3}(-4y)^{0} +\binom{3}{1}(3a)^{2}(-4y)^{1} +\binom{3}{2}(3a)^{1}(-4y)^{2} +\binom{3}{3}(3a)^{0}(-4y)^{3}\\[4pt] &=27a^{3}-108a^{2}y+144ay^{2}-64y^{3}, \end{aligned} \]

che coincide con la formula per il cubo di un binomio.

Calcoliamo ora lo sviluppo del binomio (a+3b)^{7}:

\[ \begin{aligned} (a+3b)^{7} &=\sum_{k=0}^{7}\binom{7}{k}a^{7-k}(3b)^{k}\\ &=\binom{7}{0}a^{7}(3b)^{0} +\binom{7}{1}a^{6}(3b)^{1} +\binom{7}{2}a^{5}(3b)^{2} +\binom{7}{3}a^{4}(3b)^{3}, \end{aligned} \]

dove non abbiamo sviluppato di calcoli dei coefficienti binomiali e delle potenze.


Svolgimento punto 2.

Calcoliamo lo sviluppo del binomio (x^{2}+y^{3})^{5}:

\[ \begin{aligned} (x^{2}+y^{3})^{5} &=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(x^{2})^{5-k}(y^{3})^{k}\\ &=\binom{5}{0}x^{10}y^{0} +\binom{5}{1}x^{8}y^{3} +\binom{5}{2}x^{6}y^{6} +\binom{5}{3}x^{4}y^{9} +\binom{5}{4}x^{2}y^{12} +\binom{5}{5}x^{0}y^{15}\\[4pt] &=x^{10}+5x^{8}y^{3}+10x^{6}y^{6} +10x^{4}y^{9}+5x^{2}y^{12}+y^{15}. \end{aligned} \]

Calcoliamo ora lo sviluppo del binomio \displaystyle\Bigl(x-\frac{2}{x}\Bigr)^{6}.

\[ \begin{aligned} \left(x-\frac{2}{x}\right)^{6} &=\sum_{k=0}^{6}\binom{6}{k} x^{\,6-k}\!\left(-\frac{2}{x}\right)^{\!k}\\ &=\binom{6}{0}x^{6} \left (-\frac{2}{x} \right )^{0} +\binom{6}{1}x^{5}\left (-\frac{2}{x} \right )^{1} +\binom{6}{2}x^{4}\left (-\frac{2}{x} \right )^{2} +\dots +\binom{6}{6}x^{0}\left (-\frac{2}{x} \right )^{6}\\[4pt] &=x^{6}-12x^{4}+60x^{2}-160 +240x^{-2}-192x^{-4}+64x^{-6}. \end{aligned} \]


Svolgimento punto 3.

Calcoliamo lo sviluppo del binomio (4x^{2}-5c^{3})^{4}:

\[ \begin{aligned} (4x^{2}-5c^{3})^{4} &=\sum_{k=0}^{4}\binom{4}{k}(4x^{2})^{4-k}(-5c^{3})^{k}\\ &=\binom{4}{0}4^{4}x^{8} +\binom{4}{1}4^{3}x^{6}(-5c^{3}) +\binom{4}{2}4^{2}x^{4}(-5c^{3})^{2}\\ &\quad+\binom{4}{3}4^{1}x^{2}(-5c^{3})^{3} +\binom{4}{4}4^{0}x^{0}(-5c^{3})^{4}. \end{aligned} \]


Svolgimento punto 4.

Calcoliamo infine lo sviluppo del binomio \displaystyle\Bigl(\frac{a}{3}+x\Bigr)^{9}:

\[ \begin{aligned} \left(\frac{a}{3}+x\right)^{9} &=\sum_{k=0}^{9}\binom{9}{k} \left(\frac{a}{3}\right)^{9-k}x^{\,k}\\ &=\binom{9}{0}\left(\frac{a}{3}\right)^{9} +\binom{9}{1}\left(\frac{a}{3}\right)^{8}x +\binom{9}{2}\left(\frac{a}{3}\right)^{7}x^{2} +\dots +\binom{9}{9}x^{9}. \end{aligned} \]


 
 

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