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Coefficiente binomiale – Esercizio 2

Coefficiente binomiale

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione

    \[\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\n-3 \end{pmatrix} = 2\; \begin{pmatrix} n\\4 \end{pmatrix}\]

 

Soluzione

La definizione di coefficiente binomiale è

    \[\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\]

dove n! è il fattoriale di n, che si calcola come

    \[n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1\]

Dunque andiamo ad esplicitare i coefficienti binomiali

    \[\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \qquad \qquad \begin{pmatrix} n\\n-3 \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \qquad \qquad \begin{pmatrix} n\\4 \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-4)! \cdot 4!}\]

ed impostiamo l’uguaglianza ricordando che non abbiamo alcuna condizione di esistenza essendo n!\ge 1 per ogni n naturale:

    \[\begin{aligned} \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\n-3 \end{pmatrix} = 2\; \begin{pmatrix} n\\4 \end{pmatrix} & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} + \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} = 2 \; \dfrac{n!}{(n-4)! \cdot 4!} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{n!+n!}{(n-3)! \cdot 3!} = \dfrac{2n!}{(n-4)! \cdot 4!}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\cancel{2n!}}{(n-3) \; \cancel{(n-4)!} \cdot 6} = \dfrac{\cancel{2n!}}{\cancel{(n-4)!} \cdot 24}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{(n-3) \cdot \cancel{6}} = \dfrac{1}{\cancel{24}_4}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad n-3=4 \quad \Rightarrow \quad n=7 \end{aligned}\]

Quindi la soluzione è

    \[\boxed{n=7}\]


Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini
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