Esercizio. 
Risolvere la seguente equazione
Risolvere la seguente equazione
![\[\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\n-3 \end{pmatrix} = 2\; \begin{pmatrix} n\\4 \end{pmatrix}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-61bf1a5c2d92d9e75ef40d786e32a34d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione
La definizione di coefficiente binomiale è
![\[\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-439dcc0c05cad74ac86702f61a40ac66_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è il fattoriale di 
, che si calcola come
![\[n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b4902ce96f35eb5c31293a718f3f8a36_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dunque andiamo ad esplicitare i coefficienti binomiali
![\[\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \qquad \qquad \begin{pmatrix} n\\n-3 \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} \qquad \qquad \begin{pmatrix} n\\4 \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-4)! \cdot 4!}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b12ffe4c93e7689fc72ad6c2bc63fd93_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ed impostiamo l’uguaglianza ricordando che non abbiamo alcuna condizione di esistenza essendo 
per ogni naturale:
![\[\begin{aligned} \begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\n-3 \end{pmatrix} = 2\; \begin{pmatrix} n\\4 \end{pmatrix} & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} + \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} = 2 \; \dfrac{n!}{(n-4)! \cdot 4!} \quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{n!+n!}{(n-3)! \cdot 3!} = \dfrac{2n!}{(n-4)! \cdot 4!}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\cancel{2n!}}{(n-3) \; \cancel{(n-4)!} \cdot 6} = \dfrac{\cancel{2n!}}{\cancel{(n-4)!} \cdot 24}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{(n-3) \cdot \cancel{6}} = \dfrac{1}{\cancel{24}_4}\quad \Rightarrow \quad \\\\ & \quad \Rightarrow \quad n-3=4 \quad \Rightarrow \quad n=7 \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8d29d8bcc53623c407c1c9fe4b4760a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi la soluzione è
![\[\boxed{n=7}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2b64aec7483da94ab94fe70276d2c54b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini