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Coefficiente binomiale – Esercizio 1

Coefficiente binomiale

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente equazione

    \[\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} = 5 \; \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix}\]

 

Soluzione

La definizione di coefficiente binomiale è

    \[\begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\]

dove n! è il fattoriale di n, che si calcola come

    \[n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1\]

Dunque andiamo ad esplicitare i coefficienti binomiali

    \[\begin{pmatrix} n\\3 \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!}\]

e

    \[\begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} = \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}\]

Impostiamo l’uguaglianza ricordando che non abbiamo alcuna condizione di esistenza essendo n!\ge 1 per ogni n naturale. Dunque

    \[\dfrac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} =5 \; \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!}\quad \Rightarrow \quad \dfrac{\cancel{n!}}{(n-3)! \cdot 3 \cdot 2} =5 \; \dfrac{\cancel{n!}}{(n-2) \cdot (n-3)! \cdot 2 }\]

dove abbiamo riscritto (n-2)! = (n-2) \cdot (n-3)!, dunque

    \[\begin{aligned} & \dfrac{1}{(n-3)! \cdot 3 \cdot 2} = 5 \; \dfrac{1}{(n-2) \cdot (n-3)! \cdot 2 } \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{\cancel{(n-3)!}\cdot 3 \cdot \cancel{2}} = 5 \; \dfrac{1}{(n-2) \cdot \cancel{(n-3)!} \cdot \cancel{2 }}\quad \Rightarrow \quad\\\\ & \quad \Rightarrow \quad \dfrac{1}{3} = 5 \; \dfrac{1}{n-2} \quad \Rightarrow \quad n-2=15 \quad \Rightarrow \quad n=17 \end{aligned}\]

Quindi la soluzione è

    \[\boxed{n=17}\]


Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini