Esercizio. 
Sviluppare la seguente potenza di binomio con il binomio di Newton
Sviluppare la seguente potenza di binomio con il binomio di Newton
![\[(2x-1)^4\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-348323e0de993f5c58475a9dc03f7316_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Soluzione
Sia 
con 
, allora per ogni 
si chiama \textbf{binomio di Newton}
![\[(a+b)^n = \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} a^n + \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} a^{n-1} b + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^2 + \dots + \begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix} ab^{n-1} + \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} b^n\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7fe042841ffb0716c4a110c919007e21_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dunque nel nostro caso
![\[\begin{aligned} (2x-1)^4 & = \begin{pmatrix} 4\\0 \end{pmatrix} (2x)^4 + \begin{pmatrix} 4\\1 \end{pmatrix} (2x)^3 \cdot (-1)+ \begin{pmatrix} 4\\2 \end{pmatrix} (2x)^2 \cdot (-1)^2 + \begin{pmatrix} 4\\3 \end{pmatrix} (2x) \cdot (-1)^3 + \begin{pmatrix} 4\\4 \end{pmatrix} (-1)^4 = \\\\ & = 16x^4 - \dfrac{4!}{3!} \cdot 8x^3 + \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \, 4x^2 - \dfrac{4!}{3!} \cdot 2x + 1=\\\\ & = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x+1 \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d51793f00cd4a8f49affb0a5d1df836f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi concludiamo che
![\[\boxed{(2x-1)^4 = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x+1}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d3177128d9a74940e700dea2ffbc3ba7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini