Binomio di Newton – Esercizio 2

Binomio di Newton

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sviluppare la seguente potenza di binomio con il binomio di Newton

    \[(2x-1)^4\]

 

Soluzione

Sia n\in \mathbb{N} con n\neq 0, allora per ogni a,b \in\mathbb{R} si chiama \textbf{binomio di Newton}

    \[(a+b)^n = \begin{pmatrix} 	n\\0 \end{pmatrix} a^n + \begin{pmatrix} 	n\\1 \end{pmatrix} a^{n-1} b + \begin{pmatrix} 	n\\2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^2 + \dots + \begin{pmatrix} 	n\\n-1 \end{pmatrix} ab^{n-1} +  \begin{pmatrix} 	n\\n \end{pmatrix} b^n\]

Dunque nel nostro caso

    \[\begin{aligned}  	(2x-1)^4 & = \begin{pmatrix} 		4\\0 	\end{pmatrix} (2x)^4 +  	\begin{pmatrix} 		4\\1 	\end{pmatrix} (2x)^3 \cdot (-1)+  	\begin{pmatrix} 		4\\2 	\end{pmatrix} (2x)^2 \cdot (-1)^2 + 	\begin{pmatrix} 		4\\3 	\end{pmatrix} (2x) \cdot (-1)^3 +  	\begin{pmatrix} 		4\\4 	\end{pmatrix} (-1)^4 = \\\\ 	& = 16x^4 - \dfrac{4!}{3!} \cdot 8x^3 + \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \, 4x^2 - \dfrac{4!}{3!} \cdot 2x + 1=\\\\ 	& = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x+1 \end{aligned}\]

Quindi concludiamo che

    \[\boxed{(2x-1)^4 = 16x^4 - 32x^3 + 24x^2 - 8x+1}\]


Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini