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Binomio di Newton – Esercizio 1

Binomio di Newton

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Esercizio. (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Sviluppare la seguente potenza di binomio con il binomio di Newton

\[(x+2)^5\]

 

Soluzione

Sia n\in \mathbb{N} con n\neq 0, allora per ogni a,b \in\mathbb{R} si chiama \textbf{binomio di Newton}

\[(a+b)^n = \begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix} a^n + \begin{pmatrix} n\\1 \end{pmatrix} a^{n-1} b + \begin{pmatrix} n\\2 \end{pmatrix} a^{n-2}b^2 + \dots + \begin{pmatrix} n\\n-1 \end{pmatrix} ab^{n-1} + \begin{pmatrix} n\\n \end{pmatrix} b^n\]

Dunque nel nostro caso

\[\begin{aligned} (x+2)^5 & = \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix} x^5 + \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} x^4 \cdot 2+ \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} x^3 \cdot 2^2 + \begin{pmatrix} 5\\3 \end{pmatrix} x^2 \cdot 2^3 + \begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix} x \cdot 2^4 + \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} 2^5 = \\\\ & = x^5 + \dfrac{5!}{4!} x^4 \cdot 2 + \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} x^3 \cdot 4+ \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} x^2 \cdot 8 + \dfrac{5!}{4!} x \cdot 16 + 32 =\\\\ & = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 40x^2 + 80x +32 \end{aligned}\]

Quindi concludiamo che

\[\boxed{(x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 40x^2 + 80x +32}\]


Fonte: L. Sasso – Nuova Matematica a colori 4 – Petrini