Disequazioni in modulo o valore assoluto – Esercizio 5

Modulo o valore assoluto: Disequazioni

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar) Risolvere la seguente disequazione con un valore assoluto

    \[\vert -2x+5 \vert < x-3\]

 

Soluzione

Quando a membro destro abbiamo un polinomio e non una costante, dobbiamo esplicitare il valore assoluto

    \[\vert -2x+5 \vert = \begin{cases} 	-2x+5, \qquad &\mbox{se } -2x+5\ge0 \qquad \boxed{\text{I}}\\ 	2x-5, \qquad &\mbox{se } -2x+5<0\qquad \boxed{\text{II}} \end{cases}\]

Esaminando il caso I si trova il sistema:

    \[\begin{cases} 	-2x+5\ge0\\ -2x+5 < x-3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x\le\dfrac{5}{2}\\ 	x>\dfrac{8}{3} \end{cases}\]

ma poiché 8/3>5/2 allora il sistema è impossibile. Occupiamoci ora del sistema \text{II}:

    \[\begin{cases} 	-2x+5<0\\ 	2x-5 < x-3 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 	x>5/2\\ x<2 \end{cases}\]

ma il sistema è impossibile perché 2<5/2. Dunque concludiamo che

    \[\boxed{ S: \nexists \, x \in \mathbb{R}}\]


Fonte: Matematica.blu 2.0 Volume 3 – Zanichelli