Tavole di verità – Esercizio 3

Insiemi e logica

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Esercizio.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)

Completare la seguente tavola di verità

    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge A & \overline{A}\vee A \\[0.2ex] 			\hline 			&  & & & &  \\[0.2ex] 			\hline 			&  & & & &  \\[0.2ex] 			\hline 			&  & & & &  \\[0.2ex] 			\hline 			&  & & & &  \\[0.2ex] 			\hline \end{array}\]

 

Soluzione. 
Prima di tutto assegniamo il valore di vero (V) e falso (F) alle proposizioni logiche. In questa prima parte si assegnano V o F in tutte le combinazioni possibili:

    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge A & \overline{A}\vee A \\[0.2ex] 			\hline 			V&  V& & & &  \\[0.2ex] 			\hline 			V&  F& & & &  \\[0.2ex] 			\hline 			F& V & & & &  \\[0.2ex] 			\hline 			F& F & & & &  \\[0.2ex] 			\hline \end{array}\]

dopo di che, sfruttando la tavola di verità della negazione andiamo a completare la terza e quarta colonna, ricordando che se una proposizione logica è V, la sua negazione è F e viceversa:

    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline A & B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge A & \overline{A}\vee A \\[0.2ex] 			\hline 			V&  V& F& F& &  \\[0.2ex] 			\hline 			V&  F& F&V & &  \\[0.2ex] 			\hline 			F& V & V& F& &  \\[0.2ex] 			\hline 			F& F & V&V & &  \\[0.2ex] 			\hline 	\end{array}\]

Ora completiamo la quinta colonna sfruttando la tavola di verità della congiunzione e la prima e terza colonna:

    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} 	\hline A & B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge A & \overline{A}\vee A \\[0.2ex] 			\hline 			V&  V& F& F& F&  \\[0.2ex] 			\hline 			V&  F& F&V & F&  \\[0.2ex] 			\hline 			F& V & V& F& F&  \\[0.2ex] 			\hline 			F& F & V&V & F& \\[0.2ex] 			\hline 	\end{array}\]

osservando che l’ultima colonna scritta è una contraddizione cioè è sempre falsa.
Per l’ultima colonna sfruttiamo la tavola di verità della disgiunzione inclusiva oltre alle colonne interessate:

    \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} 	\hline A & B & \overline{A} & \overline{B} & \overline{A} \wedge A & \overline{A} \vee A \\[0.2ex] 			\hline 			V&  V& F& F& F& V \\[0.2ex] 			\hline 			V&  F& F&V & F& V \\[0.2ex] 			\hline 			F& V & V& F& F& V \\[0.2ex] 			\hline 			F& F & V&V & F& V \\[0.2ex] 			\hline 	\end{array}\]

ed osserviamo che è una tautologia cioè è sempre vera.

 


Fonte: Qui Si Risolve