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Massimo comune divisore

Insieme numerico N

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Il concetto di massimo comune divisore è di estrema importanza nell’aritmetica dei numeri interi e nell’algebra dei polinomi. In ogni contesto in cui ha significato il concetto di divisore di uno o più elementi, ha senso cercare il o i divisori comuni che siano massimi, ovvero tali che ogni altro divisore comune divida a sua volta quello massimo. Facciamo un esempio nell’insieme \mathbb{N} dei numeri naturali e consideriamo i numeri

\[30, \qquad 12, \qquad 24.\]

Ad esempio, i numeri 1 e 2 sono divisori di tutti e tre i numeri in esame, quindi sono dei divisori comuni a essi, però né 1 né 2 è il massimo comune divisore dei tre numeri. Tale massimo comune divisore è infatti 6: esso è un divisore sia di 30, sia di 12 che di 24 e inoltre non divide alcun divisore comune positivo di questi tre numeri. Infatti, l’unico divisore di 12 maggiore di 6 è il numero 12 stesso, che però non divide 30 e quindi non è un divisore comune ai tre numeri esaminati.

Il concetto di massimo comune divisore risulta molto importante poiché consente di sintetizzare e massimizzare, in un certo senso, le informazioni di divisibilità comuni a due o più numeri o monomi o polinomi.

In questo breve articolo esaminiamo questo concetto declinandolo sia in ambito aritmetico che algebrico, oltre a fornire una lista di materiale pratico su cui il lettore può mettere alla prova le competenze acquisite.

 

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi,Valerio Brunetti.

 

Massimo comune divisore di numeri interi

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Come già spiegato con l’esempio introduttivo, un massimo comune divisore di due o più numeri interi dati è quel numero intero divisore di tutti i numeri dati, divisibile per tutti i loro divisori comuni. Poiché tra numeri naturali a è un divisore di b solo se a \leq b, ciò spiega l’aggettivo massimo: un massimo comune divisore è infatti il massimo numero positivo che divide tutti i numeri dati.

Segnaliamo al lettore che abbiamo usato l’articolo indeterminativo “un” in quanto, nell’ambito dei numeri interi relativi, vi sono sempre due massimi comuni divisori: quello positivo e il suo opposto, negativo. Ad esempio, sia 6 che -6 sono massimi comuni divisori di 30, 12 e 24.

Ma come si calcola il massimo comune divisore di numeri interi? Negli esempi precedenti, abbiamo grosso modo “indovinato” quale fosse quello dei numeri dati, con considerazioni difficilmente generalizzabili. Ci proponiamo dunque di presentare un algoritmo generale che consenta di determinare il massimo comune divisore di due o più numeri interi.

  1. Si considerino due o più numeri interi dati: a, b, c, …
  2. Si scomponga ciascuno dei numeri dati in fattori primi.
  3. Il massimo comune divisore è il prodotto dei soli fattori primi comuni a tutti i numeri dati, ciascuno preso col minimo esponente con cui compare nella scomposizione di a, b, c, …

Facciamo un esempio.

  1. Si considerino

    \[a=75, \qquad b=30, \qquad c=45.\]

  2. Scomponiamo a, b, c in fattori primi:

    \[a=3 \cdot 5^2, \qquad b=2\cdot3 \cdot5 \qquad c= 3^2 \cdot 5.\]

  3. Nella scomposizione dei tre numeri, compaiono i soli fattori primi 2, 3 e 5. Il fattore 2 divide solo b e dunque non è comune a tutti e tre i numeri. Il fattore 3 è comune a tutti e tre i numeri e il minimo esponente con cui compare è 1. Anche il fattore 5 è comune a tutti e tre i numeri e il minimo esponente con cui compare è 1. Il massimo comune divisore è dunque il prodotto

    \[3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15.\]

 

Massimo comune divisore di monomi

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Un monomio è un’espressione sotto forma di prodotto di un numero reale e di vari fattori letterali, con esponenti positivi. Ad esempio

\[a^2b, \qquad 5xy^3, \qquad \frac{1}{4}pq^4r^2\]

sono monomi. Anche per due o più monomi ha senso il concetto di massimo comune divisore, ovvero il monomio costituito dal prodotto delle lettere comuni a tutti i monomi dati, ciascuna presa col minimo esponente con cui essa compare. Nei monomi, le lettere hanno lo stesso ruolo che i fattori primi giocano per i numeri interi.

Consideriamo ad esempio i tre monomi

\[5x^4y^2z, \qquad 10 x^3y^3z^2, \qquad \frac{1}{3}x^3 y^2 z^4 w.\]

Le lettere che compaiono in almeno uno di essi sono x, y, z, w. Solo x, y e z compaiono però in tutti e tre i monomi: la x con esponente minimo 3, la y con esponente minimo 2 e la z con esponente minimo 1. Ne segue quindi che il massimo comune divisore dei monomi dati è

\[x^3y^2z.\]

 

Massimo comune divisore di polinomi

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Un polinomio è definito come la somma di più monomi. Ad esempio

\[ x^2-y^2, \qquad x^2-2xy+y^2 \]

sono due polinomi nelle variabili x e y. Anche per i polinomi ha senso il concetto di massimo comune divisore poiché anche per i polinomi ha senso l’operazione di divisione e il concetto di divisibilità.

La nozione di massimo comune divisore di polinomi è intimamente legata alla questione della scomposizione dei polinomi, ovvero stabilire quali sono i fattori più semplici di un polinomio dato, cioè scriverlo sotto forma di moltiplicazione di polinomi più semplici. Una volta determinati i fattori dei polinomi in gioco, il massimo comune divisore si ottiene scegliendo i soli fattori comuni a tutti i polinomi dati, ciascuno preso col minimo esponente.

Consideriamo ad esempio proprio i polinomi indicati: x^2-y^2 e x^2-2xy+y^2. Mediante le tecniche di scomposizione si vede che

\[x^2-y^2= (x-y)(x+y), \qquad x^2-2xy+y^2= (x-y)^2.\]

Il solo fattore comune a entrambi i polinomi è (x-y) e il minimo esponente con cui compare è 1, dunque si conclude che il massimo comune divisore tra i polinomi dati è

\[x-y.\]

 

Massimo comune divisore di monomi

Segnaliamo le seguenti raccolte di esercizi sul tema:

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.