Massimo comune divisore

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Il concetto di massimo comune divisore è di estrema importanza nell’aritmetica dei numeri interi e nell’algebra dei polinomi. In ogni contesto in cui ha significato il concetto di divisore di uno o più elementi, ha senso cercare il o i divisori comuni che siano massimi, ovvero tali che ogni altro divisore comune divida a sua volta quello massimo. Facciamo un esempio nell’insieme $\mathbb{N}$ dei numeri naturali e consideriamo i numeri

$30, \qquad 12, \qquad 24.$

Ad esempio, i numeri $1$ e $2$ sono divisori di tutti e tre i numeri in esame, quindi sono dei divisori comuni a essi, però né $1$ né $2$ è il massimo comune divisore dei tre numeri. Tale massimo comune divisore è infatti $6$ : esso è un divisore sia di $30$ , sia di $12$ che di $24$ e inoltre non divide alcun divisore comune positivo di questi tre numeri. Infatti, l’unico divisore di $12$ maggiore di $6$ è il numero $12$ stesso, che però non divide $30$ e quindi non è un divisore comune ai tre numeri esaminati.

Il concetto di massimo comune divisore risulta molto importante poiché consente di sintetizzare e massimizzare, in un certo senso, le informazioni di divisibilità comuni a due o più numeri o monomi o polinomi.

In questo breve articolo esaminiamo questo concetto declinandolo sia in ambito aritmetico che algebrico, oltre a fornire una lista di materiale pratico su cui il lettore può mettere alla prova le competenze acquisite.

Autori e revisori

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Autori: Luigi De Masi,Valerio Brunetti.