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Trinomi

Equazioni di secondo grado: complete, pure, spurie e monomie

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Benvenuti nella nostra guida ai trinomi di secondo grado!
In questo articolo studiamo questi particolari polinomi di una variabile: ci focalizzeremo sulla scomposizione e in particolare sul metodo del completamento del quadrato, che consente anche di risolvere agevolmente qualsiasi equazione o disequazione di secondo grado senza memorizzare alcuna formula o casistica! Inoltre, vedremo che tali trinomi rappresentano delle parabole nel piano cartesiano.
Il tutto sarà illustrato da esempi ed esercizi svolti, con cui potrai familiarizzare con le tecniche presentate.
Cosa aspetti dunque, non ti resta che tuffarti in questa lettura che ti sarà utilissima nei tuoi studi di matematica!

Metti alla prova questa tecnica con i nostri esercizi delle cartelle

Buona lettura!

Sommario

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In questo articolo trattiamo i trinomi, precisamente di secondo grado, ossia i polinomi ottenuti dalla somma di 3 monomi di grado rispettivamente 2, 1 e 0. Ci dedichiamo alla loro scomposizione, particolarmente col metodo di completamento del quadrato, e mostriamo come con tale metodo si risolvano facilmente equazioni e disequazioni di secondo grado, senza memorizzare alcuna formula. Forniamo inoltre un’interpretazione geometrica dei trinomi di secondo grado come delle parabole nel piano cartesiano.

 

Autori e revisori

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Autore: Luigi De Masi.  

 

 

Introduzione

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Un trinomio è un particolare polinomio dato dalla somma di 3 monomi. In questo articolo, ci focalizzeremo sui trinomi di secondo grado in una variabile, che solitamente indicheremo con x, quindi un polinomio della forma

\[ P(x)= ax^2 + bx + c, \]

con i coefficienti a,b,c \in \mathbb{R} e a \neq 0 (altrimenti il polinomio sarebbe di grado inferiore al secondo). Un esempio di tale polinomio è dunque

\[ x^2+2x-5. \]

I trinomi di secondo grado rivestono notevole importanza nella matematica, nella geometria e nelle applicazioni: le parabole possono essere descritte, nel piano, da trinomi di questo tipo, mentre equazioni e disequazioni di secondo grado si basano essenzialmente sullo studio degli zeri e del segno assunto da tali polinomi.

In questo articolo presentiamo la strategia di scomposizione di trinomi di secondo grado nel prodotto di binomi di primo grado, e vedremo che ciò conduce facilmente alla soluzione di tutte le equazioni e disequazioni di secondo grado. Vedremo inoltre che i trinomi di secondo grado descrivono delle parabole nel piano cartesiano, e ne studieremo le caratteristiche relazionandole con le loro proprietà algebriche.

 

Scomposizione

Introduzione

In questa sezione analizziamo varie tecniche di scomposizione di tipo generale e particolare, evidenziandone i pregi e le connessioni con le altre. Lo scopo generale di questa sezione è quindi di ottenere una scrittura del polinomio come

\[ ax^2+bx+c = a (x-x_1)(x - x_2), \]

dove x_1,x_2 sono due numeri reali. In altre parole, vogliamo scrivere il polinomio come prodotto di due binomi di primo grado, che sappiamo essere convenienti da trattare in equazioni e disequazioni. Infatti, supponiamo ad esempio di voler risolvere l’equazione

\[ x^2 -3x +2 = 0. \]

In questa forma il problema non sembra molto semplice. Se però osserviamo che il polinomio può scrivere come (x-2)(x-1) (verificare che, svolgendo i prodotti, si ottiene lo stesso polinomio di partenza), l’equazione diventa

\[ (x-2)(x-1) = 0, \]

che è molto più semplice, perché un prodotto è uguale a 0 se e solo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. Quindi l’uguaglianza è verificata se e solo se

\[ x-2 =0 \text{ oppure } x-1=0 \iff x=2 \text{ oppure } x=1. \]

Scomponendo il polinomio si sono quindi ottenute facilmente le soluzioni dell’equazione e anzi queste sono proprio gli opposti dei termini noti dei binomi nella scomposizione. Ma come si ricava l’uguaglianza x^2 -3x +2= (x-2)(x-1)?

Rispondere a questa domanda è precisamente lo scopo delle tecniche analizzate in questa sezione.

 

Metodo somma-prodotto e trinomio particolare

Supponiamo a=1 e quindi di avere il polinomio x^2+bx+c. Si desidera scrivere tale polinomio come (x-x_1)(x-x_2). Che relazioni esistono tra b,c,x_1,x_2? Partendo dall’uguaglianza desiderata e svolgendo i prodotti, si ha

\[ x^2 +bx+c = (x-x_1)(x-x_2) = x^2 - x_2x - x_1x +x_1x_2 = x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2. \]

Affinché il primo e l’ultimo polinomio siano uguali, è necessario e sufficiente che

\[ b= -(x_1+x_2) \quad \text{e che} \quad c=x_1x_2. \]

Dunque i due numeri reali che servono per scomporre il polinomio devono essere tali che la loro somma sia l’opposto di b, mentre il loro prodotto deve essere pari a c. Determinando due numeri x_1,x_2 con queste proprietà, si è scomposto il polinomio. Vediamo un esempio.

Esempio 1. Scomponiamo il polinomio x^2-5x + 6. Come abbiamo detto sopra, dobbiamo cercare dei numeri x_1,x_2 la cui somma sia pari a 5 (l’opposto di b=-5) e il cui prodotto sia pari a 6 (ossia il termine noto c=6). È molto semplice determinare questi due numeri, in quanto x_1=2 e x_2=3 hanno proprio somma pari a 5 e prodotto pari a 6. Ne segue che

\[ x^2-5x + 6 = (x-2)(x-3). \]

 

Un metodo definitivo: il completamento del quadrato

Supponiamo ora a=1 e b=0; il trinomio di secondo grado diventa quindi il binomio

\[ x^2+c. \]

Sappiamo che, se c\leq0, allora il polinomio si scompone come (x-\sqrt{c})(x+\sqrt{c}). Se invece c>0, allora il polinomio non si può scomporre nel campo dei numeri reali. Ad esempio

\[ x^2-9 = (x-3)(x+3), \]

mentre il polinomio x^2+9 non si può scomporre.

Questa relativa semplicità della scomposizione di un trinomio di secondo grado puro (ossia privo del termine di primo grado) porta a chiedersi se esista un modo per utilizzare questa tecnica anche nel caso in cui b\neq 0. L’idea di base è ottenere un quadrato usando anche il termine di primo grado, come illustrato dal prossimo esempio.

Esempio 2. Scomponiamo il trinomio

\[ x^2 +6x -7. \]

In questo caso b =6\neq 0; però possiamo ricondurci alla differenza di due quadrati mediante il trucco di aggiungere e sottrarre la quantità di cui abbiamo bisogno. In questo caso, osserviamo che x^2+6x è la prima parte del quadrato del binomio x^2+6x+9=(x+3)^2. Aggiungiamo e sottraiamo dunque 9 al polinomio di partenza ottenendo che esso è uguale a

\[ x^2+6x + 9 - 9 - 7 = (x+3)^2 - 16. \]

Ora abbiamo ricondotto il nostro trinomio alla differenza dei due quadrati (x+3)^2 e 16 e possiamo quindi scomporlo come prodotto della differenza per la somma delle basi:

\[ (x+3)^2 - 16 = [(x+3)-4]\cdot[(x+3)+4] = (x-1)(x+7). \]

Osserviamo che tale risultato si sarebbe potuto ottenere anche mediante la tecnica somma-prodotto, ma il pregio di quest’altro metodo è che è facilmente applicabile anche quando la tecnica somma-prodotto è poco efficace, come illustrato dal prossimo esempio.

Esempio 3. Scomponiamo il polinomio

\[ 3x^2 - 4x-3. \]

Osserviamo che il coefficiente a del termine di secondo grado non è pari a 1; possiamo però raccoglierlo e ottenere il polinomio

(1) \begin{equation*} 3 \left ( x^2 - \frac{4}{3}x - 1 \right ), \end{equation*}

in cui possiamo concentrarci sulla scomposizione del fattore tra parentesi. In questo caso non sembra esserci un modo semplice di applicare la tecnica somma-prodotto, per cui tentiamo con quella di completamento del quadrato.

Osserviamo che il termine di primo grado si può scrivere come -\frac{4}{3}x=-2 \cdot x \cdot \frac{2}{3}. Dunque possiamo provare a ricondurci al quadrato del binomio \left( x - \frac{2}{3}\right )^2= x^2- \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}. Possiamo quindi aggiungere e sottrarre \frac{4}{9} e riscrivere il polinomio (1) come

\[ 3\left [x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9} - 1 \right ] = 3\left [\left (x- \frac{2}{3}\right )^2 - \frac{13}{9} \right ]. \]

Scomponendo ora la differenza dei due quadrati si ha

\[ 3 \left [ \left (x- \frac{2}{3}\right )- \frac{\sqrt{13}}{3}\right ] \cdot \left [ \left (x- \frac{2}{3}\right )+ \frac{\sqrt{13}}{3}\right ] = 3 \left ( x- \frac{2+ \sqrt{13}}{3}\right )\cdot \left ( x- \frac{2- \sqrt{13}}{3}\right ). \]

Quando questa tecnica fallisce, il polinomio non si può scomporre.

Esempio 4. Proviamo a scomporre il polinomio

\[ x^2+4x + 5. \]

Il termine di secondo grado è il doppio prodotto di x e 2 e quindi è naturale provare a ottenere il quadrato del binomio (x+2)^2=x^2+4x+4. Osserviamo che il termine noto 5=4+1 e quindi possiamo scrivere il trinomio come

\[ x^2+4x+4+1 = (x+2)^2+1. \]

Arrivati a questo punto, non possiamo applicare la differenza di due quadrati in quanto abbiamo una somma. Si può dimostrare che questo intoppo non è dovuto alla strategia utilizzata, ma che è impossibile scomporre questo polinomio, rimanendo nel campo dei numeri reali.1

In generale, la tecnica di scomposizione come completamento del quadrato può essere descritta come segue. A meno di raccogliere un fattore -1, possiamo supporre a>0. Dal polinomio ax^2+bx+c si scrive

\[ a \left ( x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right ). \]

Si pone poi \frac{b}{a}x = 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} e quindi si tenta di ricondursi al quadrato del binomio \left ( x+ \frac{b}{2a}\right )^2= x^2 + \frac{b}{a} + \frac{b^2}{4a^2}. Aggiungendo e sottraendo dunque \frac{b^2}{4a^2} al polinomio si ha

(2) \begin{equation*} a \left ( x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} \right ) = a\left [ \left (x+ \frac{b}{2a}\right )^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right ]. \end{equation*}

Per poter proseguire bisogna comprendere il segno del termine \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}. Vediamo innanzitutto che 4a^2>0 in quanto a \neq 0, dunque il segno della frazione è uguale a quello del termine \Delta=b^2-4ac, che è detto discriminante del trinomio. Distinguiamo quindi tre casi.

  1. Se b^2 - 4ac >0, se ne può estrarre la radice quadrata e applicare la scomposizione mediante differenza di due quadrati:

    \[ \begin{aligned} a\left [ \left (x+ \frac{b}{2a}\right )^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right ] & = a\left [ \left (x+ \frac{b}{2a}\right ) - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right ] \cdot \left [ \left (x+ \frac{b}{2a}\right ) + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right ] \\ & = a \left (x- \frac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right ) \cdot \left (x- \frac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right ). \end{aligned} \]

  2. Se b^2-4ac=0, il polinomio (2) è un quadrato di binomio, precisamente

    \[ a\left ( x+ \frac{b}{2a}\right )^2. \]

  3. Se invece b^2-4ac<0, il termine aggiunto al quadrato del binomio è positivo e abbiamo visto nell’esempio 4 che in tal caso il polinomio non si può ulteriormente scomporre come differenza di due quadrati.

In conclusione abbiamo la seguente regola generale per la scomposizione di un trinomio di secondo grado:

 

\[ { ax^2+bx+c = \begin{cases} a \left (x- \dfrac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right ) \cdot \left (x- \dfrac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right ) & \text{se } \Delta \coloneqq b^2 - 4ac>0 \\[10pt] a\left ( x+ \dfrac{b}{2a}\right )^2 & \text{se } \Delta \coloneqq b^2 - 4ac=0 \\[10pt] \text{non si può scomporre} & \text{se } \Delta \coloneqq b^2 - 4ac<0. \end{cases} } \]

   

\[\]

  1. Per i lettori che conoscono i numeri complessi, nel campo complesso +1=-(i)^2 e quindi in tale ambiente si può applicare la differenza di due quadrati e scomporre il polinomio come

    \[ (x+2-i)(x+2+i). \]

    ↩

 

Interpretazione geometrica: la parabola

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In un piano cartesiano xy, l’equazione

(3) \begin{equation*} y=ax^2+bx+c \end{equation*}

rappresenta una parabola con l’asse di simmetria parallelo all’asse y, come illustrato in figura 1.

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Figura 1: la parabola identificata nel piano cartesiano dall’equazione y=x^2-3x+2.

   

Ciò si può ricavare dalla semplice osservazione che le equazioni y=ax^2 descrivono nel piano cartesiano delle parabole aventi l’asse y come asse di simmetria e vertice l’origine, e dalla scrittura (2). Infatti dall’uguaglianza

\[ ax^2+bx + c = a\left (x+ \frac{b}{2a}\right )^2 - \frac{b^2-4ac}{4a} \]

si vede che l’equazione (3) descrive una parabola con le seguenti proprietà:

  • l’asse di simmetria si ottiene imponendo pari a 0 la base del quadrato in (2), ovvero

    \[ x+ \frac{b}{2a} = 0 } \]

    da cui

    \[\boxcolorato{analisi}{ x= - \frac{b}{2a};}\]

  • il vertice è sull’asse di simmetria, quindi ha ascissa pari a -\frac{b}{2a}, mentre la coordinata y si ricava ad esempio sostituendo tale valore della x in (3), ossia y_V=- \frac{b^2-4ac}{4a}. Dunque

    \[\boxcolorato{analisi}{ V=\left ( \frac{b}{2a}, - \frac{b^2-4ac}{4a}\right ).}\]

 

Equazioni di secondo grado

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Dedichiamoci ora alla risoluzione di equazioni di secondo grado, tenendo presente i metodi della sezione 2. Qualsiasi equazione di secondo grado può essere riportata nella forma

\[ ax^2+bx+c = 0, \]

con a \neq 0. Utilizzando la scrittura del polinomio ottenuta in (2) possiamo quindi riscrivere l’equazione come

(4) \begin{equation*} \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \end{equation*}

dove abbiamo semplificato il coefficiente a in quanto esso è diverso da zero e riordinato i termini. Con le stesse considerazioni della sezione 2

si giunge ai seguenti casi.

  • Se b^2 - 4ac>0, il termine al membro di destra in (4) è positivo e quindi si può estrarre la radice quadrata e giungere alle soluzioni

    \[ x+ \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \iff x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

    •  

  • Se b^2-4ac=0, l’equazione (4) ha la sola soluzione

    \[ x+ \frac{b}{2a} = 0 \iff x= -\frac{b}{2a}, \]

    detta di molteplicità 2.

    •  

  • Se invece b^2-4ac<0, l’equazione (4) eguaglia un quadrato (sempre positivo) a un numero negativo e quindi è impossibile.

Abbiamo quindi la seguente classificazione:  

\[ \boxcolorato{analisi}{ ax^2+bx+c = 0 \begin{cases} \text{ha soluzioni } x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} & \text{se } \Delta \coloneqq b^2 - 4ac>0 \\[10pt] \text{ha soluzione } x = \dfrac{-b}{2a} & \text{se } \Delta \coloneqq b^2 - 4ac=0 \\[10pt] \text{è impossibile} & \text{se } \Delta \coloneqq b^2 - 4ac<0. \end{cases} } \]

 

Disquazioni di secondo grado

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Anche le disequazioni di secondo grado possono essere facilmente risolte mediante la scrittura (2) ottenuta tramite completamento del quadrato. Diamo infatti un esempio per la la disequazione di secondo grado ax^2+bx+c>0 con a>0. Da (2) essa è equivalente a

(5) \begin{equation*} \left (x+ \frac{b}{2a}\right )^2 > \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}. \end{equation*}

  • Se b^2 - 4ac>0 il termine di destra è positivo e quindi la disequazione implica

    \[ \left |x+ \frac{b}{2a}\right | > \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \qquad \iff \qquad x < \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \,\,\,\vee \,\,\, x > \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]

    •  

  • Se b^2 - 4ac=0 il termine di destra è nullo e quindi la disequazione implica

    \[ \left |x+ \frac{b}{2a}\right | > 0 \qquad \iff \qquad x \neq -\frac{b }{2a}. \]

    •  

  • Se b^2 - 4ac<0 il termine di destra è negativo e quindi è sempre minore di un quadrato, quindi la disequazione è sempre verificata.

Lasciamo al lettore l’esercizio di verificare come trattare le altre tipologie di disequazioni di secondo grado.


 

Esercizi proposti

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Esercizio 1. Scomporre col metodo somma-prodotto il trinomio x^2-9x+20.

Esercizio 2. Risolvere, tramite completamento del quadrtato, l’equazione 3x^2+x-2=0.

Esercizio 3. Risolvere, tramite completamento del quadrato, la disequazione 5x^2+4x+6\leq 0.

 

Soluzioni

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Esercizio 1. Il prodotto dei numeri x_1,x_2 richiesti è 20 e la loro somma vale -(-9)=9. Si ricava x_1=4 e x_2=5, quindi

\[ x^2-9x+20 = (x-4)(x-5). \]

Esercizio 2. Raccogliendo 3 si ottiene l’equazione equivalente

\[ x^2 + \frac{x}{3} - \frac{2}{3}=0. \]

Scrivendo \frac{x}{3}=2\cdot x \cdot\frac{1}{6} si cerca di completare il quadrato aggiungendo e sottraendo \left (\frac{1}{6}\right )^2= \frac{1}{36}:

\[ x^2 + \frac{x}{3} + \frac{1}{36} - \frac{1}{36} - \frac{2}{3} = 0 \iff \left (x+ \frac{1}{6}\right )^2 = \frac{25}{36}, \]

che, estraendo le radici e risolvendo, ha soluzioni

\[ x+ \frac{1}{6} = \pm \frac{5}{6} \iff x= -1 \,\,\,\vee\,\,\, x= \frac{4}{6}= \frac{2}{3}. \]

Esercizio 3. Si divide per 5 ottenendo la disequazione equivalente

\[ x^2 + \frac{4}{5}x + \frac{6}{5} \leq 0. \]

Aggiungendo e sottraendo \frac{4}{25} si ritrova un quadrato di un binomio e la disequazione diventa

\[ \left (x + \frac{2}{5}\right )^2 + \frac{34}{25} \leq 0, \]

che è impossibile in quanto la somma di un quadrato e un numero positivo non è mai minore o uguale a zero.

 
 

Risorse didattiche aggiuntive per approfondire la matematica

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  • Math Stack Exchange – Parte della rete Stack Exchange, questo sito è un forum di domande e risposte specificamente dedicato alla matematica. È una delle piattaforme più popolari per discutere e risolvere problemi matematici di vario livello, dall’elementare all’avanzato.
  • Art of Problem Solving (AoPS) – Questo sito è molto noto tra gli studenti di matematica di livello avanzato e i partecipanti a competizioni matematiche. Offre forum, corsi online, e risorse educative su una vasta gamma di argomenti.
  • MathOverflow – Questo sito è destinato a matematici professionisti e ricercatori. È una piattaforma per domande di ricerca avanzata in matematica. È strettamente legato a Math Stack Exchange ma è orientato a un pubblico con una formazione più avanzata.
  • PlanetMath – Una comunità collaborativa di matematici che crea e cura articoli enciclopedici e altre risorse di matematica. È simile a Wikipedia, ma focalizzata esclusivamente sulla matematica.
  • Wolfram MathWorld – Una delle risorse online più complete per la matematica. Contiene migliaia di articoli su argomenti di matematica, creati e curati da esperti. Sebbene non sia un forum, è una risorsa eccellente per la teoria matematica.
  • The Math Forum – Un sito storico che offre un’ampia gamma di risorse, inclusi forum di discussione, articoli e risorse educative. Sebbene alcune parti del sito siano state integrate con altri servizi, come NCTM, rimane una risorsa preziosa per la comunità educativa.
  • Stack Overflow (sezione matematica) – Sebbene Stack Overflow sia principalmente noto per la programmazione, ci sono anche discussioni rilevanti di matematica applicata, specialmente nel contesto della scienza dei dati, statistica, e algoritmi.
  • Reddit (r/Math) – Un subreddit popolare dove si possono trovare discussioni su una vasta gamma di argomenti matematici. È meno formale rispetto ai siti di domande e risposte come Math Stack Exchange, ma ha una comunità attiva e molte discussioni interessanti.
  • Brilliant.org – Offre corsi interattivi e problemi di matematica e scienza. È particolarmente utile per chi vuole allenare le proprie capacità di problem solving in matematica.
  • Khan Academy – Una risorsa educativa globale con lezioni video, esercizi interattivi e articoli su una vasta gamma di argomenti di matematica, dalla scuola elementare all’università.