Disequazioni irrazionali – Esercizio 7
In questo settimo articolo sulle disequazioni irrazionali, presentiamo un esercizio completamente risolto su questo argomento. Segnaliamo anche il precedente Disequazioni irrazionali – Esercizio 6 per ulteriore materiale sul medesimo tema.
Buona lettura!
Esercizio 
.
Risolvere la seguente disequazione irrazionale
![\[\sqrt[3]{x+6} >x.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4573fc483efaed2f28f28dcf356a604_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Svolgimento.
![\[\left( \sqrt[3]{x+6}\right)^3 >x^3 \quad \Leftrightarrow \quad x+6>x^3 \quad \Leftrightarrow \quad x^3-x-6<0.\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-162f8f98aa74ec92724122c09e371948_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Troviamo una disequazione di grado superiore al secondo quindi scomponiamo con il metodo di Ruffini. Innanzitutto indichiamo il polinomio con
![\[P(x)=x^3-x-6\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8090cd4a040712870d10b4713cff2f92_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e cerchiamo i divisori del termine noto 
:
![\[D: \pm1, \pm2, \pm 3, \pm 6\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f106594eb20c9d75b454234ab39a47be_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e vediamo quale di questi divisori rendono nullo il polinomio
![\[\begin{aligned} &P(1) = 1 -1-6=-6 \neq 0\\ &P(-1) = -1+1-6=-6\neq0\\ &P(2) = 8 - 2-6 = 0. \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1f424648f0578e7bf4b7d3bb21503f13_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Impostiamo quindi lo schema dove 
è il coefficiente di 
, 
è il coefficiente di 
, 
è il coefficiente di 
e è il termine noto
ottenendo così un nuovo polinomio con coefficienti
per , 
per e 
come termine noto, possiamo quindi scrivere
![\[x^3-x-6 = (x-2)(x^2+2x+3)<0\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de6a5d578f4acba8fdcccc87471d939c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e studiando il segno del prodotto otteniamo
![\[\begin{aligned} & x-2>0 \quad \Leftrightarrow \quad x>2\\ & x^2+2x+3>0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \, x \in \mathbb{R} \end{aligned}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0d75163b9a683f6d5414d44ab49b97e4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
e con una semplice regola dei segni
otteniamo 
in quanto il segno di disuguaglianza (
) ci indica di prendere gli intervalli dove il prodotto dei fattori è negativo.
Dunque la soluzione è
![\[\boxcolorato{superiori}{S= \left\{ x \in \mathbb{R} \, \vert \, x<2\right\}}\]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28184ab5560ac908a3be66e2ba32d819_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")