La teoria degli insiemi, insieme al concetto di funzione, rappresenta il fondamento su cui si basa tutta la matematica moderna. La versione ingenua di questa teoria si distingue da quella assiomatica poiché considera gli insiemi come semplici collezioni di oggetti, chiamati elementi o membri, mentre la versione assiomatica li definisce rigorosamente attraverso specifici assiomi.

Creata da Georg Cantor alla fine del XIX secolo, la teoria ingenua è nata per permettere ai matematici di lavorare in modo coerente anche con grandezze infinite. Celebre è la frase del matematico David Hilbert, che disse:

Studiare la teoria ingenua conduce naturalmente a riflettere su questioni filosofiche legate alle basi della matematica moderna. Tuttavia, lo scopo di questa dispensa non è quello di approfondire tali aspetti, ma di offrire una trattazione semplice e introduttiva. Verranno accennati solo marginalmente i suoi punti critici, che hanno spinto verso una formalizzazione più rigorosa con la teoria assiomatica sviluppata da Zermelo e Fraenkel.

Va sottolineato che, sebbene la formalizzazione assiomatica abbia un impatto rilevante sui fondamenti filosofici della matematica, essa ha poca influenza sull’uso pratico. Per questo motivo, lo studio della teoria ingenua rimane essenziale per sviluppare abilità operative e per comprendere le motivazioni che hanno portato all’assiomatizzazione. Una solida conoscenza di questo approccio consente di padroneggiare gli strumenti di base e getta le basi per una comprensione più profonda di concetti avanzati.