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Il documento affronta in modo sistematico e rigoroso i principali temi legati ai numeri naturali (),
agli interi () e ai razionali (), con una particolare attenzione agli aspetti teorici e alle loro applicazioni.

Insiemi numerici: contenuti principali

• Numeri naturali ():
  • Analisi dettagliata degli assiomi di Peano e loro significati;
  • Il principio di induzione, con esempi pratici e teorici, incluso il principio di induzione debole, generalizzato e forte;
  • Dimostrazioni pratiche tramite esempi come la Torre di Hanoi e il Binomio di Newton;
  • Definizione e utilizzo del fattoriale e del coefficiente binomiale;
  • Studio delle operazioni nei numeri naturali: somma, moltiplicazione, potenza e relative proprietà, dimostrate formalmente con il principio di induzione.
• Numeri interi ():
  • Proprietà fondamentali: commutativa e associativa per l’addizione, esistenza dell’elemento neutro e dell’opposto;
  • Proprietà della moltiplicazione: commutativa, associativa, esistenza dell’elemento neutro, distributività rispetto all’addizione;
  • Definizione e utilizzo del valore assoluto, incluso il teorema della disuguaglianza triangolare;
  • Studio della divisibilità, con particolare attenzione alla definizione e proprietà del massimo comune divisore (MCD) e dei numeri coprimi;
  • Approfondimento sulla relazione d’ordine nei numeri interi e sulle sue proprietà fondamentali.
• Numeri razionali ():
  • Costruzione formale dei numeri razionali come estensione dei numeri interi per includere l’operazione di divisione;
  • Analisi delle proprietà fondamentali: riflessiva, antisimmetrica e transitiva;
  • Studio approfondito delle operazioni sui razionali e loro proprietà, incluso il formalismo delle frazioni;
  • Introduzione alle applicazioni pratiche e teoriche dell’insieme dei numeri razionali nella matematica e nelle scienze.