Equazione di Binet: gravitazione
In questo articolo potrete scaricare la dimostrazione dell’equazione di Binet nella gravitazione per un corso di fisica 1.
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Descrizione
L’equazione di Binet afferna che dato un punto materiale di massa 
soggetto a una forza centrale di modulo 
, con 
la distanza tra il punto materiale e il centro 
. Allora è possibile esprimere la sua accelerazione 
in funzione della sola distanza , cioè:
![\[ \vec{a} = -\frac{L^2}{m^2 r^2} \left( \frac{d^2}{d\theta^2} \left(\frac{1}{r}\right) + \frac{1}{r} \right) \hat{r}, \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4405f9634835bd8ffa52634cfe2df0af_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
dove 
è il momento angolare e 
è il versore radiale. Se vi interessa la dimostrazione, potrete trovare tutti i dettagli nel PDF scaricabile che accompagna questo estratto.
Dimostrazione dell’equazione di Binet
La dimostrazione dettagliata parte dal presupposto che un corpo soggetto a una forza centrale conserva il momento angolare , il quale rimane costante durante il moto. Utilizzando la legge di conservazione del momento angolare, possiamo esprimere la componente radiale dell’accelerazione in funzione di e dell’angolo polare 
.
L’equazione di Binet si ottiene attraverso una serie di passaggi che coinvolgono la derivazione delle coordinate polari e l’applicazione della formula di Faa di Bruno. Questa ci permette di derivare una funzione composta e, infine, ottenere l’espressione per l’accelerazione radiale:
![\[ \vec{a} = -\frac{L^2}{m^2 r^2} \left( \frac{d^2}{d\theta^2} \left(\frac{1}{r}\right) + \frac{1}{r} \right) \hat{r}. \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-546ff8f8025b86bcb7f4ca343fdde7ce_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Se siete interessati a conoscere tutti i passaggi della dimostrazione e le implicazioni teoriche di questa equazione, potete trovare tutto ciò nel PDF scaricabile.
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