Autore: Martina Moro  

Revisore: Valerio Brunetti.

A prescindere dai diversi modi di definirli, i numeri reali possono essere descritti in maniera non formale come numeri ai quali è possibile attribuire uno sviluppo decimale finito o infinito (come ). I numeri reali possono essere positivi, negativi o nulli e comprendono i numeri interi (come 12), i numeri razionali (come ) e i numeri irrazionali algebrici (come ) e trascendenti (come ed ).

A differenza dei numeri razionali, i reali non formano un insieme numerabile; la cardinalità dell’insieme dei numeri reali è “strettamente più grande” di quella dei numeri naturali, anche se entrambi gli insiemi contengono infiniti elementi. Formalmente, questo equivale a dire che non esiste una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e i numeri naturali. Ciò distingue i numeri reali dagli altri insiemi numerici comunemente utilizzati, come l’insieme dei numeri naturali, razionali e algebrici. Questi ultimi hanno tutti la stessa cardinalità, ovvero esiste una corrispondenza biunivoca fra loro. L’insieme dei reali, invece, ha una cardinalità più grande: esiste una funzione iniettiva da ognuno di questi insiemi ai reali, ma non viceversa. In altre parole, nel tappare tutti i “buchi” lasciati dai numeri razionali si deve aggiungere una “tale quantità” di numeri nuovi da farne crescere la cardinalità. Questo può essere dimostrato con il procedimento diagonale di Cantor.

D’altra parte, nonostante i numeri reali siano molti più dei razionali, in queste note dimostreremo che i razionali sono densi nei reali, ovvero tra ogni due numeri reali, non importa quanto vicini tra loro, esiste sempre un numero razionale.

Per capire e comprendere al meglio questo file si consiglia di far riferimento al seguente link (prerequisiti): Insiemi numerici .