Le vibrazioni nei ponti: il modello di J. McKenna
In un interessante video di qualche anno fa, registrato presso il Dipartimento di Matematica del Polimi, viene affrontato il problema delle vibrazioni nei ponti secondo una versione del modello proposto nel 1999 da J. McKenna. Questo modello si basa su un semplicissimo sistema a due equazioni differenziali.
Nell’immagine si può osservare il trasferimento periodico e parziale di energia traslazionale verticale (in rosso) in energia cinetica rotazionale (in verde) di una trave (sezione del ponte), che ha due gradi di libertà principali: un’oscillazione verticale e un’oscillazione torsionale. Questo fenomeno è spiegato dettagliatamente nel video al minuto 31:10.
Le equazioni differenziali che descrivono il sistema sono:
![\[ \frac{m\ell^2}{3} \ddot{\theta} = \ell \cos \theta \left( f(y - \ell \sin \theta) - f(y + \ell \sin \theta) \right) \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bdda3cf080af418cceb8c0585be32d0f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[ m \ddot{y} = - \left( f(y - \ell \sin \theta) + f(y + \ell \sin \theta) \right) \]](https://quisirisolve.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d7be367ca83d362235c68f43ca6f4f26_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Queste equazioni mostrano come l’energia venga periodicamente trasferita tra l’oscillazione verticale (in rosso) e quella torsionale (in verde) della trave. La presenza di questi trasferimenti energetici è fondamentale per comprendere le dinamiche delle vibrazioni nei ponti e prevenire potenziali instabilità strutturali.
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