In questa dispensa è possibile scaricare la dimostrazione del teorema ponte, un risultato fondamentale dell’Analisi Matematica che stabilisce un legame tra i limiti di funzioni e i limiti di successioni. La dispensa, composta da 5 pagine, include anche due esercizi svolti che illustrano l’applicazione pratica del teorema.

Il teorema ponte risponde a una domanda centrale:

• È possibile dedurre il comportamento di una funzione f negli intorni di un punto 𝑥̄ analizzandola su successioni di punti che si avvicinano a 𝑥̄?

Il risultato afferma che, se il limite limn → +∞ f(xn) esiste ed è lo stesso per ogni successione {xn} con xn → 𝑥̄, allora il limite limx → 𝑥̄ f(x) esiste e coincide con lo stesso valore. Questo approccio consente di ridurre un problema continuo all’analisi di molteplici problemi discreti, semplificando così il calcolo dei limiti.

Il teorema si dimostra particolarmente utile per verificare la non esistenza di un limite. Ad esempio, è possibile utilizzarlo per dimostrare rigorosamente che limx → +∞ sin(x) e limx → +∞ cos(x) non esistono. Sebbene intuitivamente si sappia che tali funzioni oscillano tra -1 e 1 senza stabilizzarsi, questa dispensa fornisce una spiegazione formale e dettagliata, accompagnata da esempi esplicativi.

Grazie a questo documento, sarà possibile comprendere non solo il motivo per cui questi limiti non esistono, ma anche il procedimento rigoroso per giungere a tale conclusione. Gli esempi svolti offrono un supporto pratico per consolidare la comprensione teorica.

Il teorema ponte è trattato in modo chiaro e dettagliato, con un’esposizione completa dei casi principali che si possono verificare. Se desideri approfondire, ti invitiamo a proseguire con la lettura!