Descrizione

In questo articolo è scaricabile la dimostrazione del teorema di esistenza degli zeri. Il teorema di esistenza degli zeri afferma che, se una funzione continua su un intervallo assume valori di segno diverso, allora assume anche valore nullo. Esso è uno strumento utilissimo nel provare l’esistenza di soluzioni a equazioni non facilmente risolubili esplicitamente. Presentiamo una dimostrazione costruttiva del teorema che fornisce un metodo pratico per la ricerca approssimata di tali soluzioni, oltre a una breve ed elegante dimostrazione di carattere più teorico. Se desideri conoscere i dettagli di questo strumento dalle infinite potenzialità, questo conciso articolo è quanto cercavi!

Autori e revisori

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Autore: Daniele Fakhoury, Luigi De Masi, Silvia Lombardi, Giuseppe Palaia.

Revisori: Sara Sottile, Matteo Talluri, Valerio Brunetti, Sergio Fiorucci, Chiara Bellotti.

Il teorema di esistenza degli zeri: introduzione

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Questo articolo tratta una formalizzazione matematica del seguente concetto pratico e intuitivo: “tracciando una linea continua che cominci da una parte di una retta e termini dall’altra, la linea deve attraversare la retta.” Per secoli si è ritenuto che questo genere di conclusioni fossero talmente evidenti da non necessitare una dimostrazione. Soltanto quando divenne necessario definire cosa significasse matematicamente l’espressione “linea continua”, ci si rese conto che, di conseguenza, anche queste informazioni così semplici andavano giustificate e dimostrate rigorosamente.

Il teorema di esistenza degli zeri consiste appunto nella formalizzazione dell’idea intuitiva esposta sopra. In esso, per linea continua si intende il grafico di una funzione continua, mentre la retta è data dall’asse delle ascisse. Le due zone da una parte e dall’altra di esso sono il semipiano delle $y$ negative e quello delle $y$ positive. Quindi, una funzione continua che assuma valori di segno opposto agli estremi di un intervallo interseca necessariamente l’asse delle $x$ ; esiste cioè un punto $x_0$ tale che $f(x_0)=0$ . $x_0$ viene quindi detto uno zero di $f$ , cioè un punto in cui $f$ assume il valore $0$ . Si veda la figura 1.