Forme Bilineari: esercizi svolti

In questo documento sono presenti 10 esercizi svolti sulle forme bilineari, distribuiti in 34 pagine. Ogni esercizio è spiegato nel dettaglio e segue un ordine crescente di difficoltà.

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Descrizione

In questo articolo, puoi scaricare una dispensa con 10 esercizi svolti riguardanti le forme bilineari. La dispensa, composta da 34 pagine, è progettata per studenti di ingegneria, fisica e matematica. Si concentra sui corsi di geometria e algebra lineare. Ogni esercizio è descritto in maniera dettagliata e non tralascia passaggi importanti. Gli esercizi seguono un ordine di difficoltà crescente, dal più semplice al più complesso.

La dispensa include richiami teorici essenziali per affrontare ciascun esercizio. Inoltre, in ogni problema, si specifica il teorema o il lemma utilizzato. Di conseguenza, la dispensa è autonoma e completa per chi vuole approfondire l’argomento.

Descrizione degli esercizi sulle forme bilineari

Esercizio 1: dimostra che alcune applicazioni sono forme bilineari e determina la matrice associata rispetto alla base canonica. Gli esempi includono vettori, matrici e polinomi.
Esercizio 2: verifica che alcune applicazioni non soddisfano le condizioni per essere forme bilineari, utilizzando controesempi e analizzando le proprietà.
Esercizio 3: determina la matrice associata a diverse forme bilineari rispetto a una base data in $\mathbb{R}^3$ . Specifica se le forme sono simmetriche o antisimmetriche.
Esercizio 4: diagonalizza una serie di forme bilineari simmetriche fornite tramite matrici, esplicitando la base diagonalizzante e la forma diagonale.
Esercizio 5: considera una forma bilineare su $\mathbb{R}^4$ che dipende da un parametro $k$ . Determina il rango al variare di $k$ . Successivamente, diagonalizza la forma e identifica il sottospazio di dimensione massima senza vettori isotropi non banali.
Esercizio 6: verifica l’esistenza di una forma bilineare simmetrica su $\mathbb{R}^3$ , soddisfacendo determinate condizioni sui vettori della base canonica. Diagonalizza la forma trovata.
Esercizio 7: determina il sottospazio ortogonale $W^\perp \subset $\mathbb{R}^4$ $ rispetto a diverse scelte del sottospazio $W$ , utilizzando la forma bilineare associata a una matrice data.
Esercizio 8: calcola i valori dei parametri $a$ , $b$ , e $c$ per i quali due sottospazi di $\mathbb{R}^3$ risultano ortogonali rispetto a una data forma bilineare.
Esercizio 9: calcola le immagini di coppie di vettori rispetto a una forma bilineare su $\mathbb{R}^3$ e determina l’immagine per due vettori generici nello spazio.
Esercizio 10: considera una forma bilineare su $\mathbb{R}^4$ e determina una base per i sottospazi $U^\perp$ e $W^\perp$ , ortogonali ai sottospazi $U$ e $W$ dati, al variare di un parametro $h$ .