Autore: Jack D’Aurizio.

Revisore: Valerio Brunetti.

In queste note introdurremo il campo dei numeri complessi sottolineandone l’importanza dal punto di vista teorico ed applicativo.

Prerequisiti: definizione e proprietà di , definizioni e proprietà di base di anelli e campi, algebra dei polinomi, definizione e proprietà di base delle funzioni trigonometriche elementari.

Il processo di costruzione dei principali insiemi numerici può essere visto come rispondente ad alcune necessità concrete: è la più piccola estensione di che risulta chiusa rispetto all’operazione inversa dell’addizione; è la più piccola estensione di che risulta chiusa rispetto all’operazione inversa della moltiplicazione (fatta eccezione per il caso patologico della divisione per zero). è un campo totalmente ordinato e archimedeo, ma l’umanità ha presto maturato la consapevolezza che non è sufficiente a codificare tutte le possibili lunghezze orientate: già soltanto in un quadrato di lato unitario, le diagonali non hanno lunghezza razionale. Dal completamento metrico di nasce l’insieme dei numeri reali, che è certamente possibile ottenere anche attraverso altre costruzioni, come quella di Dedekind. Riguardo i polinomi a coefficienti reali, è spontaneo chiedersi quante siano le radici, come possano essere determinate algoritmicamente e che relazioni abbiano con i coefficienti del polinomio di partenza. Il Teorema di Ruffini assicura che un polinomio di grado non può avere più di radici distinte, e la teoria dei discriminanti ha presto fornito formule esplicite per la determinazione delle radici di polinomi di grado o . La genesi storica dei numeri complessi è riconducibile ai primi anni del sedicesimo secolo, ed è legata alla seguente “paradossale evidenza”.