Esercizio sui gruppi – L’insieme Z rispetto alla moltiplicazione

Gruppi, Strutture algebriche

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Esercizio 3.  (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)
Provare se l’insieme dei numeri \mathbb{Z} è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.

 

Svolgimento.
Dobbiamo stabilire se la struttura algebrica (\mathbb{Z},\cdot) è un gruppo.
Per farlo dobbiamo provare che:

1) l’insieme \mathbb{Z} è chiuso rispetto alla moltiplicazione;
2) la proprietà associativa sia soddisfatta;
3) esiste l’elemento neutro;
4) esiste l’elemento inverso.

1) Presi due elementi \forall a,b\in \mathbb{Z} segue che a\cdot b \in \mathbb{Z} in quanto il prodotto di due numeri interi è ancora un numero intero.

2) Dobbiamo verificare se è soddisfatta la proprietà associativa, ossia presi due elementi \forall a,b,c\in \mathbb{Z} verifica l’uguaglianza:

    \[(a \cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c)\]

come visto al punto precedente, il prodotto di due numeri interi è ancora intero. Quindi è banalmente soddisfatta la proprietà associativa.

3) Verifichiamo l’esistenza dell’elemento neutro, ossia se esiste nell’insieme \mathbb{Z} l’elemento neutro e che moltiplicato per un numero intero risulti ancora un numero intero. Preso a \in \mathbb{Z} allora

    \[a \cdot 1=1 \cdot a\]

L’elemento neutro è proprio e=1 che moltiplicato per qualsiasi elemento a \in \mathbb{Z} fornisce come risultato il numero stesso.

4) L’elemento inverso non esiste, infatti se ad esempio prendiamo 3 come numero intero, il suo inverso moltiplicativo è \dfrac{1}{3}\notin \mathbb{Z}

Concludiamo che (\mathbb{Z},\cdot) non è un gruppo.

Soluzione fornita da Qui Si Risolve

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