Esercizio sui gruppi – Applicazione dell’elemento neutro e inverso (o simmetrico)

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Esercizio 3. $(\bigstar\bigstar\largewhitestar\largewhitestar)$
Sia $G$ un insieme che non sia l’insieme vuoto, che definisce un’operazione binaria interna $\bigtriangleup$ che deve soddisfare le seguenti proprieta:
– l’operazione $\bigtriangleup$ è associativa;
– esiste un elemento $e$ di $G$ che è l’elemento neutro, tale che $g \bigtriangleup e=g$ per $\forall g \in G$ ;
– esiste l’elemento simmetrico destro $\bar{g}$ tale che $g \bigtriangleup \bar{g}=e$ per $\forall g \in G$ ;
Senza fare l’ipotesi che l’elemento neutro e l’elemento simmetrico destro di un elemento di $G$ sia unico, provare che:

1) se $g,h,k\in G$ tali che $g \bigtriangleup h=k \bigtriangleup h$ , allora $g=k$ ;
2) l’elemento $e$ è l’elemento neutro sinistro, ossia $e \bigtriangleup g=g$ , per $\forall g \in G$ ;
3) per ogni elemento $g \in G$ , allora $\bar{g}$ è l’elemento simmetrico sinistro, ossia $\bar{g} \bigtriangleup g=e$

Svolgimento.
1) Dall’uguaglianza

$g \bigtriangleup h=k \bigtriangleup h$

moltiplichiamo a destra per l’elemento simmetrico di $h$ , ossia $\bar{h}$ , da cui avremo

$(g \bigtriangleup h)\bigtriangleup \bar{h}=(k \bigtriangleup h)\bigtriangleup \bar{h}$

Sfruttiamo la proprietà associativa, quindi avremo:

$g \bigtriangleup (h\bigtriangleup \bar{h})=k \bigtriangleup (h \bigtriangleup \bar{h})$

e poichè si ha la proprietà $h\bigtriangleup \bar{h}=e$ , si ha subito

$g \bigtriangleup e=k \bigtriangleup e \Rightarrow g=k$

dove si è sfruttata la proprietà che $e$ è l’elemento neutro destro. Vale dunque la legge di cancellazione di destra.

2) Dato che $e$ è l’elemento destro, si ha che

$e \bigtriangleup e=e \quad (1)$

Utilizzando la proprietà $g \bigtriangleup \bar{g}=e$ e inserendola nella $(1)$ , si trova:

$e \bigtriangleup (g \bigtriangleup \bar{g})= g \bigtriangleup \bar{g}$

Ora dalla proprietà associativa, otteniamo

$(e \bigtriangleup g) \bigtriangleup \bar{g}= g \bigtriangleup \bar{g} \quad (2)$

Utilizzando la legge di cancellazione destra provato al punto precedente, possiamo cancellare $\bar{g}$ a destra nella $(2)$ , si ottiene che $e\bigtriangleup g=g$ .

3) Sapendo ora che dal punto 2) esiste l’elemento neutro sinistro, cioè è un elemento neutro a tutti gli effetti, abbiamo in particolare

$\bar{g} \bigtriangleup e = e \bigtriangleup \bar{g} \quad (3)$

Essendo $g \bigtriangleup \bar{g}=e$ , inserendola nel primo membro della $(3)$ , otteniamo

$\bar{g} \bigtriangleup (g \bigtriangleup \bar{g}) = e \bigtriangleup \bar{g}$

Utilizziamo ora la proprietà associativa, si ha:

$(\bar{g} \bigtriangleup g) \bigtriangleup \bar{g} = e \bigtriangleup \bar{g} \quad (4)$

Sapendo che vale la cancellazione destra, cancellando a destra $\bar{g}$ nella $(4)$ , si ottiene

$\bar{g} \bigtriangleup g = e$

ossia l’elemento $\bar{g}$ è l’elemento simmetrico sinistro (o inverso sinistro), come si voleva.

Soluzione fornita da Qui Si Risolve

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