Esercizio sui gruppi – L’insieme Z rispetto alla moltiplicazione

Esercizio 3.
Provare se l’insieme dei numeri è un gruppo rispetto alla moltiplicazione.

Svolgimento.
Dobbiamo stabilire se la struttura algebrica è un gruppo.
Per farlo dobbiamo provare che:

1) l’insieme è chiuso rispetto alla moltiplicazione;
2) la proprietà associativa sia soddisfatta;
3) esiste l’elemento neutro;
4) esiste l’elemento inverso.

1) Presi due elementi segue che in quanto il prodotto di due numeri interi è ancora un numero intero.

2) Dobbiamo verificare se è soddisfatta la proprietà associativa, ossia presi due elementi verifica l’uguaglianza:

come visto al punto precedente, il prodotto di due numeri interi è ancora intero. Quindi è banalmente soddisfatta la proprietà associativa.

3) Verifichiamo l’esistenza dell’elemento neutro, ossia se esiste nell’insieme l’elemento neutro che moltiplicato per un numero intero risulti ancora un numero intero. Preso allora

L’elemento neutro è proprio che moltiplicato per qualsiasi elemento fornisce come risultato il numero stesso.

4) L’elemento inverso non esiste, infatti se ad esempio prendiamo come numero intero, il suo inverso moltiplicativo è

Concludiamo che non è un gruppo.

Soluzione fornita da Qui Si Risolve