Esercizi svolti sugli anelli

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Esercizi svolti sugli anelli

Sommario

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Questo articolo costituisce una dispensa di esercizi svolti di algebra commutativa, in particolare di anelli commutativi con unità. Gli esercizi sono tratti da [4].

Autori e revisori

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Autori: Omar Zoghlami.

Revisori: Luigi De Masi.

Notazioni

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$\mathbb{N}$	Insieme dei numeri naturali;
$\mathbb{N}_{>0}$	Insieme dei numeri naturali non nulli;
$\mathbb{Z}$	Insieme dei numeri interi relativi;
$\mathbb{R}$	Insieme dei numeri reali;
$\mathbb{C}$	Insieme dei numeri complessi;
$\mathbb{K}$	Campo generico;
$\mathbb{A}[x]$	Anello dei polinomi a coefficienti in $A$ ;
$b \, \| \, a$	$b$ divide $a$ ;
$b \not \| \ a$	$b$ non divide $a$ ;
$aI$	Ideale prodotto di $(a)$ e $I$ ;
$\gcd(x_1, \dots, x_n)$	Massimo comun divisore di $x_1, \dots, x_n$ ;
$a \equiv b \mod n$	$a$ è congruo a $b$ modulo $n$ , cioè $n \| a-b$ ;
$\lvert X \rvert$	Cardinalità dell’insieme $X$ .

Introduzione

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Questo file costituisce una dispensa di esercizi svolti di algebra commutativa, in particolare di anelli commutativi con unità. Gli esercizi sono tratti da [4].

Nella prima parte di questa dispensa presentiamo tutti i concetti fondamentali e i risultati più importanti che sono stati utilizzati nello svolgimento di questi esercizi.

Successivamente vengono elencanti i testi di tutti gli esercizi, per poi passare alle soluzioni, che fanno riferimento alla parte teorica quando necessario.

Richiami teorici

Introduzione.

Iniziamo con le definizioni basilari degli oggetti che tratteremo nel corso degli esercizi.

Gruppi.

Definizione 1.1 (gruppo). Un insieme $G$ è detto gruppo se esiste un’operazione:

$+ \colon G \times G \to G,$

tale che, denotando con $a+b$ l’immagine della coppia $(a,b)$ , valgano le seguenti proprietà:

$\quad$

associatività: per ogni $a,b,c \in G$ , si ha che $(a + b) + c = a + (b + c)$ ;

esistenza dell’elemento neutro: esiste un elemento $0 \in G$ tale che, per ogni $a \in G$ , si ha $a + 0 = a = 0 + a$ . L’elemento $0$ viene detto elemento neutro del gruppo $G$ ;

esistenza dell’inverso: per ogni $a \in G$ esiste $b \in G$ tale che $a + b = 0 = b + a$ . L’elemento $b$ viene detto inverso di $a$ e viene denotato con $-a$ .

$\quad$

Spesso l’operazione del gruppo viene denotata anche con il simbolo del prodotto “ $\cdot$ “; in tal caso l’elemento neutro viene denotato con 1 e l’inverso di un elemento $a$ viene denotato con $a^{-1}$ .

Osservazione 1.2. Si può mostrare che l’elemento neutro di un gruppo è unico; inoltre vale anche che per ogni elemento esiste un unico inverso.

Definizione 1.3 (gruppo abeliano). Un gruppo $G$ si dice abeliano o commutativo se vale che, per ogni $a,b \in G$ , si ha $a + b = b + a$ . In questo caso, si dice che l’operazione del gruppo è commutativa.

Definizione 1.4 (sottogruppo). Un sottoinsieme $H$ di un gruppo $G$ si dice sottogruppo di $G$ se:

$\quad$

0 $\in H$ ;

per ogni $a,b \in H$ , si ha $a+b \in H$ ;

per ogni $a \in H$ , si ha $-a \in H$ .

$\quad$

Anelli.

Passiamo adesso alla classe di oggetti centrale di questa dispensa, gli anelli. Diamo la definizione generale di anello, in cui non viene richiesta la commutatività del prodotto.

Definizione 1.5 (anello). Un insieme $A$ è detto anello se esistono due operazioni:

$+ \colon A \times A \to A \quad \text{e} \quad \cdot \colon A \times A \to A,$

tali che:

$\quad$

l’operazione “+”, che chiameremo somma, rende $A$ un gruppo abeliano;

l’operazione “ $\cdot$ “, che chiameremo prodotto, è associativa;

distributività: per ogni $a,b,c \in A$ vale che:
$(a+b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \quad \text{e} \quad a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c).$

$\quad$

Per brevità, quando si lavora con un anello, si omette il simbolo del prodotto e quindi scriviamo che $ab = a \cdot b$ .

Osservazione 1.6. Osserviamo che in un anello qualsiasi, vale che:

$0 \cdot a = a \cdot 0 = 0 \quad \forall a \in A.$

Infatti, dalla distributività del prodotto, abbiamo che:

$0 \cdot a = (0+0) \cdot a = 0 \cdot a + 0 \cdot a \quad \forall a \in A.$

Sottraendo $0 \cdot a$ (cioè aggiungendo l’inverso additivo) ad entrambi i membri, otteniamo:

$0 = 0 \cdot a \quad \forall a \in A.$

Analogamente:

$a \cdot 0 = a \cdot (0+0) = (a \cdot 0) + (a \cdot 0) \quad \forall a \in A.$

Sottraendo $a \cdot 0$ ad entrambi i membri:

$0 = a \cdot 0 \quad \forall a \in A.$

Definiamo ora una particolare classe di anelli in cui il prodotto è commutativo. Segnaliamo che, negli esercizi presenti in questa dispensa, considereremo sempre anelli commutativi.

Definizione 1.7 (anello commutativo). Un anello $A$ si dice commutativo se il suo prodotto è commutativo.

Definizione 1.8 (anello unitario). Un anello $A$ si dice unitario, o con unità, se il suo prodotto ammette un elemento neutro, che denotiamo con 1; equivalentemente, se per ogni elemento $a \in A$ vale che $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ .

$\quad$

Per evitare situazioni patologiche, ogni volta che considereremo anelli unitari richiederemo anche che $1 \neq 0$ , cioè che i due elementi neutri delle due operazioni siano distinti (si veda l’esercizio 1).

Elementi particolari di un anello.

In questa breve sezione descriviamo delle proprietà interessanti che un elemento di un anello può possedere.

Definizione 1.9 (elemento invertibile). Sia $A$ un anello unitario. Un elemento $a \in A$ si dice invertibile se esiste $b \in A$ tale che:

$ab = 1 = ba.$

Definizione 1.10 (divisibilità). Sia $A$ un anello commutativo. Un elemento $a \in A$ si dice divisibile per $b \in A$ se:

$\exists c \in A \ \text{tale che} \ a = bc.$

Si dice anche che $b$ divide $a$ e si usa la scrittura $b \, | \, a$ . Nel caso in cui $a$ non sia divisibile per $b$ , si usa la scrittura $b \not | \ a$

Definizione 1.11 (elemento primo). Sia $A$ un anello commutativo unitario. Un elemento $a \in A$ non invertibile e non nullo si dice primo se:

$\forall x,y \in A \quad a \, \vert \, xy \implies a \, \vert \, x \lor a \, \vert \, y.$

Definizione 1.12 (elemento irriducibile). Sia $A$ un anello commutativo unitario. Un elemento $a \in A$ non invertibile e non nullo si dice irriducibile se:

$\forall x,y \in A \quad a = xy \implies x \ \text{invertibile} \ \lor \ y \ \text{invertibile}.$

Definizione 1.13 (divisore dello zero). Sia $A$ un anello commutativo. Un elemento $a \in A$ si dice divisore dello zero se:

$\exists b \in A, \ b \neq 0 \ \text{tale che} \ ab = 0.$

Definizione 1.14 (elemento nilpotente). Sia $A$ un anello. Un elemento $a \in A$ si dice nilpotente se:

$\exists m \in \mathbb{N}_{>0} \ \text{tale che} \ a^m=0.$

$\quad$

Osservazione 1.15. Un elemento nilpotente è un divisore dello zero.

Ideali.

Definizione 1.16 (ideale sinistro, destro). Un sottoinsieme $I$ di un anello $A$ si dice ideale sinistro di $A$ se:

$\quad$

$I$ è un sottogruppo di $A$ rispetto alla somma;

per ogni $a \in A$ e $x \in I$ , si ha $ax \in I$ .

Se nella seconda condizione si rimpiazza “ $ax \in I$ ” con “ $xa \in I$ “, si parla di ideale destro. Un ideale che è sia sinistro che destro è semplicemente chiamato ideale.

$\quad$

Osservazione 1.17. Se $A$ è un anello commutativo, non c’è distinzione tra ideali sinistri e destri.

Osservazione 1.18. Osserviamo che l’intersezione di una famiglia arbitraria di ideali (destri, sinistri o entrambi) è ancora un ideale dello stesso tipo. Per semplicità, lo dimostriamo nel caso in cui $A$ sia un anello commutativo. Sia quindi $\{I_t\}_{t \in T}$ una qualsiasi famiglia di ideali di $A$ e consideriamo:

$I \coloneqq \bigcap_{t \in T} I_t.$

Abbiamo che:

$\quad$

$0 \in I$ , siccome $0 \in I_t$ per ogni $t \in T$ ;v se $x,y \in I$ , allora:
$x,y \in I_t \quad \forall t \in T \implies x+y \in I_t \quad \forall t \in T \implies x+y \in I;$

se $x \in I$ , allora:
$x \in I_t \quad \forall t \in T \implies -x \in I_t \quad \forall t \in T \implies -x \in I;$

se $x \in I$ e $y \in A$ , allora:
$x \in I_t \quad \forall t \in T \implies xy \in I_t \quad \forall t \in T \implies xy \in I,$

dunque $I$ è un ideale.

Definizione 1.19 (ideale primo]) Un ideale $P$ di un anello $A$ si dice ideale primo di $A$ se:

$\quad$

$P$ è un sottoinsieme proprio di $A$ , cioè $P \subsetneq A$ ;

per ogni $a,b \in A$ tali che $ab \in P$ , si ha che $a \in P$ o $b \in P$ .

Definizione 1.20 (ideale massimale). Un ideale $M$ di un anello $A$ si dice ideale massimale di $A$ se:

$\quad$

$M$ è un ideale proprio di $A$ ;v per ogni ideale $I$ di $A$ tale che $M \subsetneq I$ si ha che $I = A$ .

Definizione 1.21 (ideale generato). Se $S$ è un sottoinsieme di un anello unitario $A$ , definiamo:

$F_S \coloneqq \left \{ I \subseteq A \ \colon \ I \ \text{ideale} \ \land S \subseteq I \right\},$

$(S) \coloneqq \bigcap_{I \in F_S} I.$

$(S)$ è un ideale, detto ideale generato da $S$ .

$\quad$

Osservazione 1.22. L’ideale generato ha l’importante proprietà di essere il più piccolo ideale contenente l’insieme in considerazione. Nel caso particolare in cui consideriamo l’ideale generato da un singolo elemento $a \in A$ , abbiamo:

$(a)= \left \{ ka \ \colon \ k \in A \right \}.$

Infatti, l’insieme $K$ di tutti gli elementi della forma $ka$ , con $k \in A$ è un ideale che contiene $a$ in quanto $a = 1\cdot a$ , pertanto $K \in F_a$ . D’altro canto, se un ideale è nella famiglia $F_a$ contiene $a$ e dunque deve contenere tutti i multipli di $a$ ; in particolare, deve contenere l’ideale $K$ . Ne consegue che $K=(a)$ .

Definizione 1.23 (anello finitamente generato). Un anello commutativo $A$ si dice finitamente generato se esistono $a_1, \dots, a_n \in A$ elementi non invertibili tali che:

$A = (a_1, \dots, a_n).$

In tal caso, gli elementi $a_1, \dots, a_n$ sono detti generatori dell’anello $A$ .

$\quad$

Operazioni su ideali.

Definizione 1.24

$\quad$

Definizione 1.24 (somma di ideali). Se $I$ e $J$ sono due ideali dell’anello $A$ , definiamo:

$I + J \coloneqq \left \{ x+y \in A \ \colon \ x \in I, y \in J \right\}.$

Questo insieme è un ideale ed è detto somma degli ideali $I$ e $J$ .

$\quad$

Osservazione 1.25. Si può mostrare che la somma di due ideali è il più piccolo ideale che li contiene entrambi, vale a dire che $I+J = (I \cup J)$ .

Definizione 1.26 (prodotto di ideali). Se $I,J$ sono ideali dell’anello $A$ , definiamo:

$I \cdot J = IJ \coloneqq (\{ ij \ \colon \ i \in I, j \in J\} ).$

L’ideale $IJ$ è detto ideale prodotto di $I$ e $J$ .

$\quad$

Ossevazione 1.27. La somma e il prodotto di ideali sono operazioni commutative, inoltre vale una legge di distributività: se $I,J,K$ sono ideali, allora:

$(I+J)K = IK + JK.$

Ossevazione 1.28. Si può mostrare che:

$IJ = \left \{ \sum_{k=1}^r i_k j_k \ \colon \ r \in \mathbb{N}, \ i_k \in I, \ j_k \in J, \ \forall k \in\ \{1, \dots r\} \right \},$

cioè l’ideale prodotto è formato gli elementi che si possono ottenere sommando prodotti di elementi di $I$ e $J$ .

Definizione 1.29 (radicale di un ideale). Se $I$ è un ideale di un anello commutativo $A$ , definiamo:

$\sqrt{I} \coloneqq \{ x \in A \ | \ \exists m \in \mathbb{N}_{>0} \ \text{tale che} \ x^m \in I\}.$

$\sqrt{I}$ è un ideale, detto radicale di $I$ . Se $I = \sqrt{I}$ , $I$ è detto ideale radicale.

Definizione 1.30 (quoziente per un ideale). Se $I$ è un ideale dell’anello $A$ , possiamo definire la relazione su $A$ :

$a \sim b \iff a-b \in I.$

Questa è una relazione di equivalenza, quindi possiamo considerarne l’insieme quoziente, che denotiamo con $A/I$ e le sue classi di equivalenza come $a + I$ . Inoltre, definendo le operazioni

$(a + I) + (b + I) \coloneqq (a+b) + I, \quad (a + I)(b + I)\coloneqq (ab) + I,$

si ottiene una struttura di anello su $A/I$ . Esso è detto anello quoziente di $A$ su $I$ .

Definizione 1.31 (ideale quoziente). Se $I,J$ sono due ideali di un anello $A$ , possiamo definire l’insieme

$(I:J):= \{ a \in A \ \colon \ aJ \subseteq I\},$

dove con $aJ$ si denota il prodotto di ideali $(a)J$ . L’insieme $(I:J)$ è un ideale, detto ideale quoziente $(I:J)$ .

$\quad$

Anelli particolari.

Elenchiamo, nel seguito, alcune tipologie importanti di anello.

Definizione 1.32 (anello locale). Un anello $A$ si dice locale se ammette un unico ideale massimale.

Definizione 1.33 (dominio). Un anello commutativo unitario $A$ si dice dominio se l’unico divisore dello zero è lo zero.

Definizione 1.34 (campo). Un anello commutativo unitario $A$ si dice campo se ogni elemento non nullo è invertibile.

$\quad$

Osservazione 1.35. Un campo è un dominio.

Definizione 1.36 (parte moltiplicativa). Un sottoinsieme $S$ di un anello unitario $A$ si dice parte moltiplicativa se:

$\quad$

$1 \in S$ ;

per ogni $x,y \in S, \ xy \in S$ .

Definizione 1.37 (anello delle frazioni). Se $S$ è una parte moltiplicativa di un anello commutativo con unità $A$ , consideriamo $A \times S$ e definiamo su di esso la relazione:

$(x,s) \sim (y,t) \iff \exists u \in S \text{ tale che } u(xt-ys)=0.$

Questa è una relazione di equivalenza, dunque possiamo considerare il quoziente e le classi:

$S^{-1}A \coloneqq \frac{A \times S}{\sim}, \quad \frac{a}{s} \coloneqq [(a,s)].$

Su $S^{-1}A$ è possibile definire le operazioni:

$\frac{a}{s} + \frac{b}{t} \coloneqq \frac{at+bs}{st}, \quad \frac{a}{s} \cdot \frac{b}{t} \coloneqq \frac{ab}{st}.$

Con queste operazioni, $S^{-1}A$ è un anello commutativo con unità, detto anello delle frazioni di $A$ su $S$ .

$\quad$

Osservazione 1.38. D’ora in poi, quando consideriamo parti moltiplicative $S$ per costruire l’anello delle frazioni associato, sottintenderemo che $0 \not \in S$ (altrimenti la relazione di equivalenza diventerebbe triviale, in quanto tutte le coppie sarebbero in relazione tra loro).

Definizione 1.39 (campo delle frazioni). Consideriamo un dominio unitario $A$ e $S \coloneqq A \setminus \{ 0\}$ . Allora $S$ è una parte moltiplicativa. L’anello delle frazioni $S^{-1}A$ così ottenuto è un campo, detto campo delle frazioni di $A$ e denotato con $F(A)$ .

Definizione 1.40 (anello dei polinomi). Se $A$ è un anello, definiamo:

$A[x] \coloneqq \left \{ \sum_{i=0}^n a_i x^i \ \colon \ n \in \mathbb{N}, \ a_i \in A \quad \forall i \in \{0, \dots, n \} \right \}$

Su $A[x]$ possiamo definire, per $f,g \in A[x]$ , con $f=\sum_{i=0}^n a_i x^i$ , $g= \sum_{j=0}^m b_j x^j$ :

$f+g \coloneqq \sum_{i=0}^{n+m} (a_i+b_i)x^i, \quad fg \coloneqq \sum_{i=0}^{n+m}\sum_{k=0}^i(a_k b_{i-k})x^i.$

Con queste operazioni, $A[x]$ è un anello, detto anello dei polinomi a coefficienti in $A$ nell’indeterminata $x$ .

Definizione 1.41 (anello a ideali principali). Un ideale $I$ di un anello $A$ si dice principale se $I=(a)$ , per un certo $a \in A$ . L’anello $A$ si dice a ideali principali se ogni suo ideale è principale.

Definizione 1.42 (dominio a fattorizzazione unica). Un dominio unitario $A$ si dice a fattorizzazione unica (o UFD) se per ogni suo elemento $a$ non nullo, non invertibile, esistono elementi irriducibili $a_1, \dots a_r \in A$ tali che

$a = a_1 \dots a_r,$

con la proprietà che questa fattorizzazione sia unica a meno di permutazioni e di moltiplicazione per elementi invertibili.

Osservazione 1.43. In un UFD, gli elementi irriducibili sono primi (vedi [3, p.187, 4.8.2]). Alcuni esempi di UFD sono $\mathbb{Z}$ , un qualsiasi campo $\mathbb{K}$ , $\mathbb{Z}[i]$ , $\mathbb{Z}[x]$ , $\mathbb{K}[x]$ con $\mathbb{K}$ un qualsiasi campo.

Omomorfismi.

Descriviamo ora un particolare tipo di funzione tra anelli, che in un certo senso preserva le operazioni di anello.

Definizione 1.44 (omomorfismi). Una mappa $f \colon A \to B$ tra due anelli si dice omomorfismo se:

$\quad$

$f(x+y) = f(x) + f(y)$ , per ogni $x,y \in A$ ;

$f(xy) = f(x)f(y)$ , per ogni $x,y \in A$ .

Osservazione 1.45. Se $f:A \to B$ è un omomorfismo, allora $f(0) = 0$ :

$f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 0.$

Definizione 1.46 (nucleo). Se $f \colon A \to B$ è un omomorfismo, consideriamo l’insieme:

$\ker(f) \coloneqq \{ a \in A \ \colon \ f(a)= 0 \}.$

$\ker(f)$ è un ideale, detto nucleo di $f$ .

Osservazione 1.47. Per un omomorfismo $f: A \to B$ , dimostriamo che la condizione di iniettività è equivalente a richiedere che $\ker(f) = \{0\}$ : infatti, se $f$ è iniettiva, sapendo dalla precedente osservazione che $f(0)=0$ , l’unico elemento che ha immagine nulla è l’elemento nullo e quindi $\ker(f) = \{0\}$ . Viceversa, se $\ker(f) = \{0\}$ e consideriamo $u,v \in A$ tali che $f(u) = f(v)$ , otteniamo che:

$0 = f(u) - f(v) = f(u-v) \implies u-v \in \ker(f) \implies u-v = 0,$

cioè $u = v$ e dunque la mappa $f$ è iniettiva.

Definizione 1.48 (isomorfismo). Un omomorfismo di anelli $\phi:A \to B$ si dice isomorfismo se è biettivo.

$\quad$

Osservazione 1.49. Un isomorfismo $\phi \colon A \to B$ , essendo biettivo, è invertibile. La sua funzione inversa è un omomorfismo da $B$ ad $A$ .

Spazi vettoriali.

Ricordiamo brevemente la definizione di spazio vettoriale.

Definizione 1.50 ( $\mathbb{K}$ -spazio vettoriale). Sia $\mathbb{K}$ un campo e un gruppo abeliano additivo $V$ (cioè un gruppo in cui rappresentiamo l’operazione con +). $V$ si dice $\mathbb{K}$ -spazio vettoriale se esiste un’operazione $\cdot \colon \mathbb{K} \times V \to V$ tale che:

$\quad$

per ogni $v \in V$ , $1 \cdot v = v$ ;

per ogni $v,w \in V$ e per ogni $k \in \mathbb{K}$ , vale:
$k \cdot (v+w) = k \cdot v + k \cdot w;$

per ogni $k,h \in \mathbb{K}$ e per ogni $v \in V$ , vale:
$(k+h) \cdot v = k \cdot v + h \cdot v;$

per ogni $k,h \in \mathbb{K}$ e per ogni $v \in V$ , vale:
$k \cdot (h \cdot v) = (kh) \cdot v.$

Definizione 1.51 (mappa lineare). Se $f:V \to W$ è una funzione tra due $\mathbb{K}$ -spazi vettoriali, diciamo che $f$ è lineare se:

$f(\lambda v + \mu u) = \lambda f(v) + \mu f(u),$

per ogni $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ e per ogni $v,u \in V$ .

$\quad$

Osservazione 1.52. Anche per mappe lineari ha senso parlare di $\ker(f)$ ; si dimostra che $f$ è iniettiva se e solo se $\ker(f) = \{0\}$ . Si può inoltre dimostrare che $\ker(f)$ e $\operatorname{Im}(f)$ sono entrambi dei $\mathbb{K}$ -spazi vettoriali.

Per brevità, non definiamo i concetti di base e dimensione, anche se li utilizziamo nello svolgimento di esercizi; per questi, si rimanda a [5, p.191, sez. 4.2].

Teoremi.

In questa sezione enunciamo i teoremi utilizzati nello svolgimento degli esercizi.

Teorema 1.53 (Krull, o di estensione massimale, [7, p.151, Note I]). Sia $A$ un anello unitario, $I$ un suo ideale proprio. Allora esiste un ideale massimale $M$ tale che $I \subseteq M$ .

Teorema 1.54 (lemma di Eisenstein, [3, p.126, 3.3.17]). Sia $f = \sum_{i=0}^n a_i x^i \in \mathbb{Z}[x]$ tale che esista un numero primo $p \in \mathbb{Z}$ per cui:

$\quad$

$p \,\vert \, a_i$ per ogni $i \in \{0, \dots, n-1\}$ ;

$\gcd(a_0, \dots, a_n) = 1$ ;

$p \not | \ a_n$ ;v $p^2 \not | \ a_0$ .

Allora $f$ è irriducibile in $\mathbb{Z}[x]$ .

Teorema 1.55 (caratterizzazione del radicale, [7,p.151, Note II]). Sia $A$ un anello, $I$ un suo ideale proprio. Allora

$\sqrt{I}= \bigcap_{I \subseteq P} P,$

dove $P$ sono ideali primi.

$\quad$

Osservazione 1.56. Dal teorema precedente, è immediato che un ideale primo è radicale.

Teorema 1.57 (di omomorfismo, [3, p.166, 4.4.1]). Se $f \colon A \to B$ è un omomorfismo di anelli, allora esiste un’unica mappa $\tilde{f} \colon A/ \ker(f) \to f(A)$ tale che:

$\tilde{f}(a+ \ker(f)) = f(a) \quad \forall a \in A.$

Inoltre $\tilde{f}$ è un isomorfismo di anelli.

$\quad$

Osservazione 1.58. Spesso il precedente teorema viene schematizzato dicendo che il seguente diagramma commuta: Diagramma Commutativo

$\begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{f} & B \\ \downarrow^{\pi} & \nearrow_{\tilde{f}} & \\ A/\ker(f) & & \end{array}$

Teorema 1.59 (di corrispondenza per quozienti, [3, p.168, 4.4.5]). Sia $A$ un anello e $I$ un suo ideale. Consideriamo la proiezione al quoziente $\pi \colon A \to A/I$ . Allora gli ideali di $A/I$ sono tutti e soli della forma $\pi(J)$ , dove $J$ è un ideale di $A$ contenente $I$ . Inoltre questa rappresentazione è unica.

Teorema 1.60 (di corrispondenza per frazioni, [1, p.41, 3.11]). Sia $A$ un anello e $S$ una sua parte moltiplicativa. Allora ogni ideale di $S^{-1}A$ si scrive come

$S^{-1}I \coloneqq \left \{ \frac{x}{s} \ \colon \ x \in I, s \in S \right \},$

dove $I$ è un ideale di $A$ . Inoltre, questa corrispondenza è biunivoca se ristretta agli ideali primi di $A$ disgiunti da $S$ e gli ideali primi di $S^{-1}A$ .

Teorema 1.61 (nullità più rango, [2, p.63, 3.2.2]). Siano $V,W$ due $\mathbb{K}$ -spazi vettoriali, con $V$ di dimensione finita e sia $f\colon V \to W$ una mappa lineare tra spazi vettoriali. Allora:

$\dim(V) = \dim(\ker(f)) + \dim(\operatorname{Im}(f)).$

$\quad$

Esercizi

Esercizio 1 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Provare che un anello unitario $A$ tale che $1=0$ è banale, vale a dire $A= \{0\}$ .

Svolgimento.

Consideriamo un qualsiasi elemento $a \in A$ e mostriamo che $a=0$ . Dall’osservazione 1.6, sappiamo che $0 \cdot a = 0$ . A questo punto, sfruttando che 1 = 0 e che 1 è l’elemento neutro moltiplicativo, segue che:

$0 = 0 \cdot a = 1 \cdot a = a \quad \forall a \in A.$

Esercizio 2 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se $A$ è un anello unitario commutativo e $I$ è un suo ideale, mostrare che valgono le seguenti equivalenze:

$\quad$

$I = A \iff \exists u \in I$ invertibile;

$A$ è un campo $\iff$ $\{0\}$ e $A$ sono i suoi unici ideali.

Svolgimento.

Dimostriamo le equivalenze:

$\quad$

Se $I = A$ , allora chiaramente $1 \in I$ e 1 è invertibile, essendo l’inverso di se stesso: $1 \cdot 1 = 1$ . Viceversa, se $I$ contiene un elemento invertibile $u$ , allora per le proprietà di ideale (definizione 1.16), $u \cdot u^{-1} \in I$ , dunque $1 \in I$ . Se ora consideriamo un generico $a \in A$ , applicando la stessa proprietà abbiamo $a \cdot 1 \in I$ , dunque $a \in I$ . Da questo segue che $A \subseteq I$ . Siccome $I \subseteq A$ per definizione, $I=A$ ;

Se $A$ è un campo, consideriamo un suo generico ideale $I$ . Abbiamo due possibilità: $I= \{0\}$ oppure $I\neq \{0\}$ . Nel secondo caso, abbiamo che esiste $u \in I$ con $u \neq 0$ . Allora, per la definizione di campo 1.34, $u$ è invertibile. Per la precedente equivalenza segue che $I = A$ .
Supponiamo adesso che gli unici ideali di $A$ siano $\{0\}$ e $A$ . Per provare che $A$ è un campo, consideriamo un elemento non nullo $a \in A$ e mostriamo che è invertibile. Sia $I =(a)$ l’ideale generato da $a$ (definizione 1.21). Siccome $a \neq 0$ , abbiamo che $I \neq \{0\}$ e quindi $I=A$ . In particolare $1 \in I$ . Siccome siamo nel caso di un ideale principale (definizione 1.41), abbiamo che

$\exists k \in A \ \text{tale che} \ ka=1,$

cioè $a$ è invertibile.

Esercizio 3 $(\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar)$ . Se $A$ è un anello commutativo e $I$ un suo ideale, mostrare che valgono le seguenti equivalenze:

$\quad$

$I$ primo $\iff$ $A/I$ dominio;

se $A$ è unitario, $I$ massimale $\iff$ $A/I$ campo;

se $I =(x)$ , $I$ primo $\iff$ $x$ primo.

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