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Esercizi di geometria affine nello spazio

Geometria nello spazio

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Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi di geometria affine nello spazio. In questo articolo presentiamo 11 problemi sulla geometria di rette e piani nello spazio affine tridimensionale, in cui studiamo le relazioni di inclusione, intersezione e mutua posizione di questi oggetti: rette parallele, incidenti, perpendicolari e sghembe e piani paralleli, incidenti e perpendicolari costituiscono l’oggetto di questi problemi di varia difficoltà e natura, studiati mediante le loro equazioni parametriche e cartesiane.

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Buona lettura!

 
 

Sommario

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In questa dispensa vengono proposti esercizi di geometria affine nello spazio. I testi degli esercizi sono tratti dal materiale didattico del Prof. Antonio Cigliola [1]. Data la diversa natura degli esercizi, all’inizio di ciascuno svolgimento viene presentato un breve richiamo teorico utile ai fini della risoluzione. Per approfondimenti teorici si rimanda a [2].

 
 

Autori e revisori

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Autori: Daniele Volpe.

Revisori: Jacopo Garofali.


 
 

Notazioni

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\mathbb{R}    campo dei numeri reali;
\mathbb{N}    insieme numeri naturali (incluso lo zero);
\mathbb{A}(\mathbb{R}^3)    spazio affine reale tridimensionale;
\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})    spazio vettoriale della matrici quadrate m\times n a coefficienti reali;
\mathcal{M}_n(\mathbb{R});    spazio vettoriale della matrici quadrate n\times n a coefficienti reali
\operatorname{Id}    matrice identità di dimensione deducibile dal contesto;
\operatorname{rnk}A    rango della matrice A\in\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R});
\det A    determinante della matrice quadrata A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R});
\overrightarrow{AB}\in\mathbb{R}^3    vettore congiungente i punti A,B\in\mathbb{A}(\mathbb{R}^3);
\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k},    versori coordinati in \mathbb{R}^3.


 
 

Esercizi

\[\quad\]

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se i seguenti punti A, B, C, D di \mathbb{A}^3(\mathbb{R}) sono complanari:

\[\quad\]

  1. A=(0,0,0), \quad B=(1,-1,1), \quad C=(3,3,2), \quad D=(-1,-2,1)

    2.  

  2. A=(3,-1,-2), \quad B=(4,-2,0), \quad C=(5,2,6), \quad D=(6,-1,-4)

    3.  

  3. A=(1,0,0), \quad B=(0,0,-1), \quad C=(2,3,-2), \quad D=(2,3,-3)

    4.  

  4. A=(1,-1,2), \quad B=(2,-2,3), \quad C=(0,-1,-2), \quad D=(-1,-1,2)

    5.  

  5. A=(2,0,3), \quad B=(3,0,4), \quad C=(3,1,4), \quad D=(1,0,2)


Per ciascuna quaterna di punti stabilire se siano complanari e, in caso affermativo, determinare un piano che li contiene. È unico tale piano?

Svolgimento.

È noto che per tre punti non allineati A, B, C\in\mathbb{A}^3(\mathbb{R}) passa sempre uno ed un solo piano \pi\subset\mathbb{A}^3(\mathbb{R}) di equazione cartesiana data da

(1) \begin{equation*} (x,y,z)\in \pi\iff \det\begin{pmatrix} x-x_A& y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A \end{pmatrix}=0. \end{equation*}

Si veda ad esempio [2, eq. 10.8]. Un quarto punto D\in\mathbb{A}^3(\mathbb{R}) appartiene anch’esso a \pi se e solo se soddisfa l’equazione (1).

Ricordiamo che tre punti A, B, C\in\mathbb{A}^3(\mathbb{R}) sono allineati se e solo se i vettori \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\in \mathbb{R}^3 sono linearmente dipendenti, ovvero se e solo se

(2) \begin{equation*} \begin{split} \overrightarrow{AC}&=k\overrightarrow{AB} \iff \\ \begin{pmatrix} x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A \end{pmatrix}&=k\begin{pmatrix} x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A \end{pmatrix} \end{split} \end{equation*}

per qualche k\in\mathbb{R} non nullo, si veda a tal proposito [2, sez. 7.7]. Ma osservando che la seconda e la terza riga della matrice in (1) sono esattamente le componenti dei due vettori in questione, deduciamo i tre punti sono allineati se e solo se il determinante in (1) risulta identicamente nullo indipendentemente dalle variabili x, y, z\in\mathbb{R}.

Per risolvere l’esercizio dunque sceglieremo, qualora esistano, tre punti non allineati fra quelli assegnati, ricaveremo l’unico piano \pi per essi passante ed infine controlleremo se il quarto punto vi appartenga o meno.


Svolgimento punto 1.

Ricaviamo l’equazione del presunto unico piano \pi passante per A, B e C:

\[\begin{aligned} \det\begin{pmatrix} x-x_A& y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} x& y&z\\1&-1&1\\3&3&2 \end{pmatrix}\\[7pt]=x(-2-3)-y(2-3)+z(3+3)=-5x+y+6z=0, \end{aligned}\]

dove il determinante è stato calcolato con la regola di Laplace sviluppando rispetto alla prima riga.

Sostituiamo nell’equazione le coordinate di D

(3) \begin{equation*} 5-2+6=9\neq 0. \end{equation*}

Dunque i quattro punti non sono complanari.


Svolgimento punto 2.

Ricaviamo l’equazione del presunto unico piano \pi passante per A, B e C:

\[\begin{aligned} \det\begin{pmatrix} x-x_A& y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} x-3& y+1&z+2\\1&-1&2\\2&3&8 \end{pmatrix}\\[7pt]=(x-3)(-8-6)-(y+1)(8-4)+(z+2)(3+2)=-14x-4y+5z+50=0, \end{aligned}\]

dove il determinante è stato calcolato con la regola di Laplace sviluppando rispetto alla prima riga.

Sostituiamo nell’equazione le coordinate di D

(4) \begin{equation*} -84+4-20+50=-50\neq 0. \end{equation*}

Dunque i quattro punti non sono complanari.


Svolgimento punto 3.

Ricaviamo l’equazione del presunto unico piano \pi passante per A, B e C:

\[\begin{aligned} \det\begin{pmatrix} x-x_A& y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} x-1& y&z\\-1&0&-1\\1&3&-2 \end{pmatrix}\\[7pt]=-(-2y-3z)-(3x-3-y)=-3x+3y+3z+3=0, \end{aligned}\]

dove il determinante è stato calcolato con la regola di Laplace sviluppando rispetto alla seconda riga.

Sostituiamo nell’equazione le coordinate di D

(5) \begin{equation*} -6+9-9+3=-3\neq 0. \end{equation*}

Dunque i quattro punti non sono complanari.


Svolgimento punto 4.

Ricaviamo l’equazione del presunto unico piano \pi passante per A, B e C:

\[\begin{aligned} \det\begin{pmatrix} x-x_A& y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A \end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix} x-1& y+1&z-2\\1&-1&1\\-1&0&-4 \end{pmatrix}\\[7pt]=-(y+1+z-2)-4(1-x-y-1)=4x+3y-z+1=0, \end{aligned}\]

dove il determinante è stato calcolato con la regola di Laplace sviluppando rispetto alla terza riga.

Sostituiamo nell’equazione le coordinate di D

(6) \begin{equation*} -4-3-2+1=-8\neq 0. \end{equation*}

Dunque i quattro punti non sono complanari.


Svolgimento punto 5.

Ricaviamo l’equazione del presunto unico piano \pi passante per A, B e C:

\[\begin{aligned} \det\begin{pmatrix} x-x_A& y-y_A&z-z_A\\x_B-x_A&y_B-y_A&z_B-z_A\\x_C-x_A&y_C-y_A&z_C-z_A \end{pmatrix}&=\det\begin{pmatrix} x-2& y&z-3\\1&0&1\\1&1&1 \end{pmatrix}\\[7pt]=y-z+3+x-2-y&=x-z+1=0, \end{aligned}\]

dove il determinante è stato calcolato con la regola di Laplace sviluppando rispetto alla seconda riga.

Sostituiamo nell’equazione le coordinate di D

(7) \begin{equation*} 1-2+1= 0. \end{equation*}

Dunque i quattro punti sono complanari.


 
 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Stabilire se i seguenti punti A, B, C di \mathbb{A}^3(\mathbb{R}) sono allineati. In caso affermativo, determinare l’equazione della retta che passa per essi, in caso negativo l’equazione del piano che li contiene:

\[\quad\]

  1. A=(3,0,-2),\; \qquad B=(4,-1,-4), \qquad\; C=(2,1,0);

    2.  

  2. A=(2,2,2), \qquad\quad B=(1,1,-1),\quad \qquad C=(-1,2,3);

    3.  

  3. A=(1,0,0), \qquad\quad B=(1,0,-\pi),\quad \qquad C=(0,0,1);

    4.  

  4. A=(3,4,2), \qquad\quad B=(5,-1,1),\quad \qquad C=(2,-3,-2);

    5.  

  5. A=(-3,2,1), \;\qquad B=(-4,2,3), \quad\qquad C=(-5,2,-1).

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