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Esercizi su rette nel piano affine

Geometria nel piano

Home » Esercizi su rette nel piano affine

Benvenuti nella nostra raccolta di esercizi su rette nel piano affine!
In questo articolo proponiamo 5 esercizi su questo importante tema della geometria affine; i problemi sono di natura varia e coprono le principali casistiche con equazioni parametriche, cartesiane, rette incidenti, parallele, perpendicolari, coincidenti e molto altro.

Cosa aspetti dunque? metti alla prova le tue capacità con questa breve ma completa raccolta di problemi!

Segnaliamo anche il nostro articolo di Esercizi di geometria affine del piano per problemi di carattere simile e Piano cartesiano e retta per del materiale di base sulla geometria del piano. Buona lettura!

 

Autori e revisori

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Autore: Daniele Volpe.  

 

Notazioni

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\[ \begin{array}{lp{0.7\textwidth}} \mathbb{N} & \text{Insieme dei numeri naturali.} \\ \mathbb{R} & \text{Insieme dei numeri reali.} \\ \mathbb{A}^2(\mathbb{R}) & \text{Piano affine reale.} \\ \mathbf{i}, \mathbf{j} & \text{Versori coordinati in } \mathbb{R}^2. \end{array} \]

 

Richiami di teoria

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In questa sezione richiamiamo brevemente (e informalmente) le equazioni parametriche e cartesiane di rette nel piano affine reale \mathbb{A}^2(\mathbb{R}). Il lettore interessato ad approfondire tali concetti può consultare ad esempio il testo [1 ].

Nel piano affine bidimensionale una retta r può essere identificata a partire da un suo punto A=(x_A,y_A)\in r e un vettore v=(v_x,v_y)\in\mathbb{R}^2 detto vettore direttore. Tutti i punti P=(x,y)\in r che possono essere ottenuti traslando A nella direzione di un vettore proporzionale, tramite un coefficiente t\in\mathbb{R} al vettore direttore v:

(1) \begin{equation*} P=A+tv,\quad t\in\mathbb{R} \quad \longrightarrow \quad \begin{cases} x=x_A+tv_x\\ y=y_A+tv_y. \end{cases} \end{equation*}

La variabile t\in\mathbb{R} è detta parametro e le equazioni a sistema sono dette equazioni parametriche della retta. Notiamo quindi che dall’equazione parametrica della retta possiamo leggere per ispezione diretta un punto per cui essa passa e un vettore direttore.

Assumiamo adesso v_x\neq 0. Isolando il parametro nella prima equazione e sostituendolo nella seconda, si ottiene l’equazione cartesiana della retta:

(2) \begin{equation*} v_y x - v_x y+y_A v_x-x_A v_y=0 \quad\longrightarrow\quad ax+by+c=0, \end{equation*}

dove a destra della freccia abbiamo rinominato i coefficienti usando le lettere a,\,b,\,c\in\mathbb{R}. Allo stesso risultato si perviene nel caso in cui sia non nullo v_y ricavando t dalla seconda equazione e sostituendolo nella prima. In questo caso la retta è individuata non tramite una corrispondenza biunivoca fra valore del parametro e punto, ma come luogo degli zeri di una funzione nelle variabili reali x ed y.

Notiamo quindi che dall’equazione cartesiana è possibile determinare per ispezione diretta un vettore direttore, infatti

(3) \begin{equation*} n=(a,b)=(v_y,-v_x) \implies v=(v_x,v_y)=(-b,a). \end{equation*}

osserviamo inoltre che il vettore n=(a,b) è ortogonale 1 al vettore v e quindi è ortogonale alla retta stessa. Tale condizione può essere verificata effettuando il prodotto scalare fra n e v:

\[n\cdot v=v_x v_y-v_y v_x=0.\]

Analogamente, dato un vettore n=(n_x,n_y)\in\mathbb{R}^2 ortogonale ad r e un punto A=(x_A,y_A)\in r, l’equazione cartesiana della retta ortogonale a n e passante per A può essere determinata dalla condizione di ortogonalità fra un generico vettore direttore di r ed n. Dato un generico punto P\in r di coordinate (x,y)\in\mathbb{R}^2 ciò si traduce in:

(4) \begin{equation*} (P-A)\cdot n=0 \quad\longrightarrow \quad(x-x_A)n_x+(y-y_A)n_y=0. \end{equation*}

Ulteriori digressioni teoriche di carattere generale saranno preposte alla soluzione degli esercizi pertinenti.    

\[\]

  1. Osserviamo, per completezza, che si sta dotando \mathbb{R}^2 di un prodotto scalare (ovvero di una struttura euclidea): la nozione di ortogonalità è riferita al prodotto scalare scelto. Le coordinate dei vettori sono determinate rispetto alla base canonica che, per costruzione, è una base di vettori ortogonali e di norma uno rispetto a tale prodotto scalare. ↩

 

Testi degli esercizi

Esercizio 1 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Determinare i vettori direttori delle seguenti equazioni cartesiane di rette nel piano:

  1. r_1\colon 2x+3y-1=0;
  2. r_2\colon 6y-2x=0;
  3. r_3\colon x-y+3=0;
  4. r_4\colon x+y+1=0;
  5. r_5\colon y-4x+8=0.

Svolgimento.

Seguendo quanto detto precedentemente, (3), i vettori direttori delle rette possono essere ricavati per ispezione diretta a partire dai coefficienti del polinomio a sinistra dell’uguale.

  1. v_1=(-3,2).
  2. v_2=(-6,-2).
  3. v_3=(1,1).
  4. v_4=(-1,1).
  5. v_5=(-1,-4).

 

Esercizio 2 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Tra tutte le rette parallele a

\[r\colon x-2y=0,\]

trovare:

  1. la retta r_1 passante per il punto P=(1,-1);
  2. la retta r_2 che interseca la retta
    s\colon\begin{cases} x=t\\ y=3t+1\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}
    nel suo punto Q di seconda coordinata pari a 7.

Scrivere sia in forma parametrica che cartesiana le rette trovate.

Svolgimento.

  1. Ricaviamo per ispezione diretta il vettore normale ad r: n=(1,-2), (3). Dunque la retta r_1 cercata, passante per P e avente n come vettore normale ha equazione cartesiana data da (4): (x-1)-2(y+1)=0, cioè

    \[r_1\colon x-2y-3=0.\]

    La retta può essere espressa in forma parametrica applicando la (1), osservando che il vettore direttore è dato da v=(-2,-1):

    \[r_1\colon\begin{cases} x=1-2t\\ y=-1-2t, \end{cases}t\in\mathbb{R}.\]

  2. Determiniamo in primo luogo l’ascissa del punto Q. Dato che Q\in s, esso soddisfa la sua equazione parametrica. Sapendo che l’ordinata di Q è 7 ricaviamo il parametro e determiniamo l’ascissa:

    \[\begin{cases} x=t\\ 7=3t+1 \end{cases}\iff \begin{cases} x=2\\t=2. \end{cases}\]

    La generica retta parallela a r, dunque avente vettore normale n, è data in forma cartesiana da

    \[x-2y+\alpha=0,\quad \alpha\in\mathbb{R}.\]

    Imponendo il passaggio per Q\,(2,7), otteniamo l’equazione

    \[2-2\cdot 7 + \alpha=0,\]

    da cui si ricava \alpha=12. La retta cercata è dunque

    \[r_2\colon x-2y+12=0.\]

    Alternativamente si può procedere come nel punto precedente e ricavare l’equazione cartesiana usando la (4).

    Ricaviamo adesso l’equazione parametrica. Sapendo che r_2 ha v per vettore direttore e passa per Q, la (1) restituisce immediatamente:

    \[r_2:\begin{cases} x=2-2t\\y=7-t, \end{cases}t\in\mathbb{R}.\]

 

Esercizio 3 (\bigstar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar\largewhitestar). Tra tutte le rette parallele a

\[\begin{cases} x=t+1\\y=1-t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}\]

trovare:

  1. la retta s_1 che passa per il punto P=(0,1);
  2. la retta s_2 che interseca la retta s\colon 8x+y=0 nel suo punto Q che ha prima coordinata pari a -1.

    3. Scrivere in forma sia parametrica che cartesiana le rette trovate.

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